Tính diện tích miền phẳng D:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hình giải tích phẳng

Câu hỏi số 5299:

Tính diện tích miền phẳng D: $\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\\ y=x.2^{-x} \end{matrix}\right.$

A. $\frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}$

B. $\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}$

C. $\frac{-1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}$

D. $\frac{1}{4ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{18}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5299

Giải chi tiết

Với bài tập này việc vẽ hình là khó thực hiện tuy vậy bằng cách áp dụng đúng lý thuyết chúng ta có thể tính diện tích miền D dễ dàng.

Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Xét phương trình: $\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}$ = $x.2^{-x}$ (*)

Điều kiện: x ≥ -1.

(*) <=> $\left\{\begin{matrix} x=0\\ \frac{1}{24}x\sqrt{x^{3}+1}=2^{-x} \end{matrix}\right.$

Nhận thấy trên tập (-1; 0) hệ vô nghiệm.

Trên tập (0; +∞) phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 (hàm số luôn đồng biến trên tập này). Vậy diện tích của miền phẳng là:

S= $\int_{0}^{2}$ $|x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}|dx$

= $|\int_{0}^{2}x.2^{-x}-\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx|$

= $|\int_{0}^{2}(x.2^{-x}dx-\int_{0}^{2}\frac{1}{24}x^{2}\sqrt{x^{3}+1})dx|$

Ta tính I_{1= . Tích phân này có thể tính như sau:}

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x\\dv=2^{-x} dx \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} du=dx\\v=\frac{2^{-x}}{ln2}. \end{matrix}\right.$ Do đó:

I₁= $\int_{2}^{0}x2^{-x}dx$ = $-x\frac{2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2}$ + $\frac{1}{ln2}\int_{0}^{2}2^{-x}dx$

= $-\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{ln2}\frac{-2^{-x}}{ln2}|_{0}^{2}$ = $-\frac{1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}$ .

I₂= $\frac{1}{24}\int_{0}^{2}x^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx$ = $\frac{1}{27}\sqrt{x^{3}+1}|_{0}^{2}=\frac{1}{36}$

Vậy S =|I₁+ I₂| = $\left | \frac{-1}{2ln2} +\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}\right |$ = $\frac{-1}{2ln2}+\frac{3}{4ln^{2}2}+\frac{1}{36}$ (đvdt)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.