Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích của tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi số 5300:

A. x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

B. x = $\sqrt{\frac{3}{4}}$

C. x = $\sqrt{\frac{1}{2}}$

D. x = $\sqrt{\frac{2}{3}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5300

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên:

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

=> V_ABCD = V_A.MCD + V_B.MCD

= $\frac{1}{3}$ AM.S_MCD + $\frac{1}{3}$ BM.S_MCD = $\frac{1}{3}$ AB.S_MCD

Xét tam giác MCD có:

MC = MD = $\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$ = $\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}$ .

Gọi H là trung điểm của CD ta có: MH ⊥CD

Do đó: MH = $\sqrt{MC^{2}-CH^{2}}$ = $\frac{\sqrt{3-x^{2}}}{2}$

=> V_ABCD = $\frac{1}{3}$ .AB. $\frac{1}{2}$ MH.CD = $\frac{x\sqrt{3-x^{2}}}{12}$

Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có: $x\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+3-x^{2}}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = $\sqrt{3-x^{2}}$ <=> x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Vậy thể tích của khối tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD)

ð V_ABCD = V_A.MCD + V_B.MCD

= AM.S_MCD + BM.S_MDC = AB.S_MCD

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.