Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm không âm trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x

Câu hỏi số 535256:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm không âm trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\), \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}.{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 1 + {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\). Nếu \(f\left( 0 \right) = \sqrt 3 \) thì giá trị \(f\left( 1 \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\dfrac{9}{2};5} \right)\)

B. \(\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{5}{2};3} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535256

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Xét phương trình \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}.{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 1 + {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) (1).

Đặt \(g\left( x \right) = 1 + {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right)f\left( x \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left[ {g'\left( x \right)} \right]^2} = 4{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}{\left[ {g'\left( x \right)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {g'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{4}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Vì \(f\left( x \right)\) có đạo hàm không âm trên \(\left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(g\left( x \right) = 1 + {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) cũng có đạo hàm không âm trên \(\left[ {0;1} \right]\) và \(g\left( x \right) > 1 > 0\) \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt {g\left( x \right)} }} = \dfrac{2}{{{x^2} + 1}}\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt {g\left( x \right)} }}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{2}{{{x^2} + 1}}dx} \\ \Leftrightarrow \left. {2\sqrt {g\left( x \right)} } \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\pi \\ \Leftrightarrow \sqrt {g\left( 1 \right)} - \sqrt {g\left( 0 \right)} = \dfrac{1}{4}\pi \end{array}\)

Ta có \(g\left( 0 \right) = 1 + {\left[ {f\left( 0 \right)} \right]^2} = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4\) \( \Rightarrow \sqrt {g\left( 1 \right)} - 4 = \dfrac{1}{4}\pi \Leftrightarrow g\left( 1 \right) = {\left( {\dfrac{1}{4}\pi + 4} \right)^2} \approx 22,9\).

\( \Rightarrow f\left( 1 \right) \approx 4,7\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.