Cho tam giác \(ABC\left( {AB < AC} \right)\). Đường thẳng qua trọng tâm \(G\) của tam giác cắt
Cho tam giác \(ABC\left( {AB < AC} \right)\). Đường thẳng qua trọng tâm \(G\) của tam giác cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{AB}}{{AD}} + \dfrac{{AC}}{{AE}} = 3\).
Quảng cáo
Qua \(B\) và \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(DE\) cắt \(AM\) lần lượt ở \(I\) và \(K.\)
Gọi \(M\) là giao điểm của \(AG\) và \(BC\left( {M \in BC} \right)\)
Xét các tam giác có chứa yếu tố song song, vận dụng định lý Ta – lét trong tam giác.
Qua \(B\) và \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(DE\) cắt \(AM\) lần lượt ở \(I\) và \(K.\)
Gọi \(M\) là giao điểm của \(AG\) và \(BC\left( {M \in BC} \right)\)
Do \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BM = MC\)
Ta có:
+ \(BI//CK//DE\) \( \Rightarrow \angle IBM = \angle MCK\) (hai góc so le trong)
+ \(\angle IMB = \angle CMK\) (hai góc đối đỉnh)
Xét \(\Delta IMB\) và \(\Delta IMC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle IBM = \angle MCK\left( {cmt} \right)\\BM = MC\left( {cmt} \right)\\\angle IMB = \angle CMK\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IMB = \Delta IMC\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow MI = MK\) (hai cạnh tương ứng)
+ Xét \(\Delta ABI\) có \(DG//BI\) (cách dựng), ta có: \(\dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AI}}{{AG}}\) (định lý Ta – lét) (1)
+ Xét \(\Delta ACK\) có \(DE//CK\) (cách dựng), ta có: \(\dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AK}}{{AG}}\) (định lý Ta – lét) (2)
Cộng (1) và (2) theo từng vế, ta được:
\(\dfrac{{AB}}{{AD}} + \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AI + AK}}{{AG}} = \dfrac{{\left( {AM - IM} \right) + \left( {AM + MK} \right)}}{{AG}} = \dfrac{{2AM}}{{AG}}\) (do \(MI = MK\left( {cmt} \right)\))
Mà \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)
Do đó, \(\dfrac{{AB}}{{AD}} + \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{2AM}}{{\dfrac{2}{3}AM}} = 3\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
