Cho tam giác \(ABC\), trên các cạnh \(AB,BC,CA\) của tam giác lấy tương ứng ba điểm \(M,N,P\) sao cho

Câu hỏi số 536142:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\), trên các cạnh \(AB,BC,CA\) của tam giác lấy tương ứng ba điểm \(M,N,P\) sao cho \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{CP}}{{PA}} = k\left( {k > 0} \right)\).

a) Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{S_{AMP}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AM.AP}}{{AB.AC}}\)

b) Tìm giá trị của \(k\) sao cho \({S_{MNP}} = \dfrac{7}{{25}}{S_{ABC}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:536142

Phương pháp giải

Đặt \(S = {S_{ABC}},{S_1} = {S_{AMP}},{S_2} = {S_{BMN}},{S_3} = {S_{CNP}}\) và \({S_4} = {S_{MNP}}\)

a) Kẻ \(P{P_1} \bot AB\) tại \({P_1}\left( {{P_1} \in AB} \right)\), kẻ \(C{C_1} \bot AB\) tại \({C_1}\left( {{C_1} \in AB} \right)\).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Xét các tam giác có chứa yếu tố song song, vận dụng định lý Ta – lét trong tam giác.

b) Ta tính được: \(\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{{{S_2}}}{S} = \dfrac{{{S_3}}}{S} = \dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\) và chứng minh được:\(\dfrac{{{S_1}}}{S} + \dfrac{{{S_2}}}{S} + \dfrac{{{S_3}}}{S} = 1 - \dfrac{{{S_4}}}{S}\,\,\,\left( * \right)\) và dựa vào giả thiết bài cho \(\dfrac{{{S_4}}}{S} = \dfrac{7}{{25}}\) tính được \(k\).

Giải chi tiết

Đặt \(S = {S_{ABC}},{S_1} = {S_{AMP}},{S_2} = {S_{BMN}},{S_3} = {S_{CNP}}\) và \({S_4} = {S_{MNP}}\)

a) Kẻ \(P{P_1} \bot AB\) tại \({P_1}\left( {{P_1} \in AB} \right)\), kẻ \(C{C_1} \bot AB\) tại \({C_1}\left( {{C_1} \in AB} \right)\).

Ta có: \({S_1} = {S_{AMP}} = \dfrac{1}{2}AM.P{P_1}\)

\(S = {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.C{C_1}\)

Suy ra, \(\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AM.P{P_1}}}{{\dfrac{1}{2}AB.C{C_1}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{P{P_1}}}{{C{C_1}}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}P{P_1} \bot AB\\C{C_1} \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow P{P_1}//C{C_1}\)

Xét \(\Delta AC{C_1}\) có \(P{P_1}//C{C_1}\left( {cmt} \right)\) nên ta có: \(\dfrac{{P{P_1}}}{{C{C_1}}} = \dfrac{{AP}}{{AC}}\) (định lý Ta – lét)

Do đó, \(\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AP}}{{AC}}\) (đpcm)

b) Ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AM + MB}} = \dfrac{{\dfrac{{AM}}{{MB}}}}{{\,\,\dfrac{{AM + MB}}{{AM}}\,\,}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\)

\(\dfrac{{AP}}{{AC}} = \dfrac{{AP}}{{AP + PC}} = \dfrac{{\dfrac{{AP}}{{AP}}}}{{\,\,\dfrac{{AP + PC}}{{AP}}}} = \dfrac{1}{{1 + k}}\)

Do đó, \(\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{k}{{k + 1}}.\dfrac{1}{{k + 1}} = \dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{{{S_2}}}{S} = \dfrac{{{S_3}}}{S} = \dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\)

Mặt khác, \({S_1} + {S_2} + {S_3} = S - {S_4}\) do đó, \(\dfrac{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}}{S} = \dfrac{{S - {S_4}}}{S}\) hay \(\dfrac{{{S_1}}}{S} + \dfrac{{{S_2}}}{S} + \dfrac{{{S_3}}}{S} = 1 - \dfrac{{{S_4}}}{S}\,\,\,\left( * \right)\)

Mà \(\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{{{S_2}}}{S} = \dfrac{{{S_3}}}{S} = \dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}\) và \(\dfrac{{{S_4}}}{S} = \dfrac{7}{{25}}\) nên từ (*), ta lại có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3.\dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{7}{{25}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{6}{{25}}\\ \Leftrightarrow 6{k^2} + 12k + 6 - 25k = 0\\ \Leftrightarrow 6{k^2} - 13k + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 6{k^2} - 9k - 4k + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3k\left( {2k - 3} \right) - 2\left( {2k - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2k - 3} \right)\left( {3k - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2k - 3 = 0\\3k - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{3}{2}\\k = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(k = \dfrac{3}{2}\) hoặc \(k = \dfrac{2}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link