Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Gọi

Câu hỏi số 536143:

Vận dụng cao

Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(BO,AO\). Lấy điểm \(F\) trên cạnh \(AB\) sao \(FM\) cắt cạnh \(BC\) tại \(E\) và tia \(FN\) cắt cạnh \(AD\) tại \(K\). Chứng minh rằng: \(BE + AK \ge BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:536143

Phương pháp giải

Kẻ \(CI//AH//EF\) (với \(I,H \in BD\))

Xét các tam giác có chứa yếu tố song song, vận dụng định lý Ta – lét trong tam giác.

Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{{BA}}{{BF}} + \dfrac{{BC}}{{BE}} = 4\) và \(\dfrac{{AD}}{{AK}} + \dfrac{{AB}}{{AF}} = 4\)

Ta sẽ chứng minh được \(BC.\left( {\dfrac{1}{{AK}} + \dfrac{1}{{BE}}} \right) + AB.\left( {\dfrac{1}{{AF}} + \dfrac{1}{{BF}}} \right) = 8\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) (với \(x,y > 0\))

Suy luận chứng minh được yêu cầu của đề bài.

Giải chi tiết

Kẻ \(CI//AH//EF\) (với \(I,H \in BD\))

Ta có: \(AH//CI \Rightarrow \angle HAO = \angle ICO\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta AOH\) và \(\Delta COI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AOH = \angle COI\\OA = OB\\\angle HAO = \angle ICO\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AOH = \Delta COI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IO = OH\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ABH\) có \(FM//AH\), ta có: \(\dfrac{{BA}}{{BF}} = \dfrac{{BH}}{{BM}}\) (định lý Ta – lét)

Xét \(\Delta BIC\) có \(ME//CI\), ta có: \(\dfrac{{BC}}{{BE}} = \dfrac{{BI}}{{BM}}\) (định lý Ta – lét)

Do đó, ta có: \(\dfrac{{BA}}{{BF}} + \dfrac{{BC}}{{BE}} = \dfrac{{BH}}{{BM}} + \dfrac{{BI}}{{BM}} = \dfrac{{BO + OH + BO - OI}}{{BM}} = \dfrac{{2BO}}{{BM}} = 4\) (1) (do \(M\) là trung điểm của \(OB\))

Chứng minh tương tự, ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AK}} + \dfrac{{AB}}{{AF}} = 4\) (2)

Từ (1) và (2), ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AK}} + \dfrac{{AB}}{{AF}} + \dfrac{{AB}}{{BF}} + \dfrac{{BC}}{{BE}} = 8\)

\( \Rightarrow BC.\left( {\dfrac{1}{{AK}} + \dfrac{1}{{BE}}} \right) + AB.\left( {\dfrac{1}{{AF}} + \dfrac{1}{{BF}}} \right) = 8\,\,\,\left( * \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) (với \(x,y > 0\))

Ta có: \(\dfrac{1}{{AF}} + \dfrac{1}{{BE}} \ge \dfrac{4}{{AF + BF}} = \dfrac{4}{{AB}} \Rightarrow AB.\left( {\dfrac{1}{{AF}} + \dfrac{1}{{BF}}} \right) \ge 4\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**), suy ra \(BC.\left( {\dfrac{1}{{AK}} + \dfrac{1}{{BE}}} \right) \le 4\)

Mà \(\dfrac{1}{{AK}} + \dfrac{1}{{BE}} \ge \dfrac{4}{{AK + BE}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC.\left( {\dfrac{1}{{AK}} + \dfrac{1}{{BE}}} \right) \ge \dfrac{{4BC}}{{AK + BE}}\\ \Rightarrow \dfrac{{4BC}}{{AK + BE}} \le 4\\ \Rightarrow AK + BE \ge BC\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link