Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thoả mãn \(3x.f\left( x

Câu hỏi số 537901:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thoả mãn \(3x.f\left( x \right) - {x^2}.f'\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right)\), với \(f\left( x \right) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Tính \(M + m\).

A. \(\dfrac{9}{{10}}\).

B. \(\dfrac{{21}}{{10}}\).

C. \(\dfrac{5}{3}\).

D. \(\dfrac{7}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:537901

Phương pháp giải

+ Tìm \(f\left( x \right)\): Đưa bài toán về dạng \(u\left( x \right)f'\left( x \right) + u'\left( x \right)f\left( x \right) = h\left( x \right)\)

\(u\left( x \right)f'\left( x \right) + u'\left( x \right)f\left( x \right) = \left[ {u\left( x \right)f\left( x \right)} \right]'\)

\( \Rightarrow \left[ {u\left( x \right)f\left( x \right)} \right]' = h\left( x \right) \Rightarrow u\left( x \right)f\left( x \right) = \int {h\left( x \right)dx} \)

Từ đó tìm được \(f\left( x \right)\)

+ Sử dụng chức năng TABLE để tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có: \(3x.f\left( x \right) - {x^2}.f'\left( x \right) = 2{f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow 3{x^2}.f\left( x \right) - {x^3}.f'\left( x \right) = 2x.{f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2}.f\left( x \right) - {x^3}.f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x\)

(vì \(f\left( x \right) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\))

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 2x \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x \right)}} = \int {2xdx = {x^2} + C} {\rm{ }}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2}}\)

MENU \(8\)

Bắt đầu: \(1\)

Kết thúc: \(2\)

Bước nhảy: \(\left( {2 - 1} \right):40\)

Bảng giá trị:

Quan sát bảng giá trị, ta thấy \(M = \dfrac{4}{3};m = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow M + m = \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.