Cho x,y là các số thực và thoả mãn x,y >1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 53819:

Cho x,y là các số thực và thoả mãn x,y >1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P= $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

A. minP =-5

B. minP =8

C. minP =-8

D. minP =5

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:53819

Giải chi tiết

Đặt t=x+y, điều kiện t>2

Áp dụng bất đẳng thức 4xy ≤(x+y)² ta có xy ≤ $\frac{t^{2}}{4}$

P= $\frac{t^{3}-t^{2}-xy(3t-2)}{xy-t+1}$ do 3t-2 > 0 => -xy ≥ - $\frac{t^{2}}{4}$ nên ta có:

P ≥ $\frac{t^{3}-t^{2}-\frac{t^{2}}{4}(3t-2)}{\frac{t^{2}}{4}-t+1}=\frac{t^{2}}{t-2}$

Xét hàm số f(t) = $\frac{t^{2}}{t-2}$ trên (2;+∞)

Có f’(t) = $\frac{t^{2}-4t}{(t-2)^{2}}$ => f’(t) =0 => $\begin{bmatrix} t=0(l)\\ t=4(tm) \end{matrix}$

$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}$ f(t)= +∞; $\lim_{x\rightarrow +\infty }$ f(t)= +∞

$\min_{(2;+\infty )}$ f(t) =f(4) =8 => minP =8

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ xy=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2 \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.