Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và

Câu hỏi số 538260:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) và song song với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là

A. \(\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z + 78 = 0\\4x + 3y - 12z - 26 = 0\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z + 74 = 0\\4x + 3y - 12z - 16 = 0\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z - 74 = 0\\4x + 3y - 12z + 16 = 0\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z - 78 = 0\\4x + 3y - 12z + 26 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:538260

Phương pháp giải

- Tìm dạng của phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\).

- Giải điều kiện \(d\left( {(I;\left( Q \right)} \right) = {R_{\left( S \right)}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) và song song với \(\left( \alpha \right)\).

Ta có: \(\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Khi đó mặt phẳng song song với \(\left( \alpha \right)\) có phương trình dạng \(\left( Q \right):4x + 3y - 12z + d = 0\,\,\,\left( {d \ne 10} \right)\).

Mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 + 2} = 4\).

Vì \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {(I;\left( Q \right)} \right) = {R_{\left( S \right)}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = 4\\ \Leftrightarrow \left| {d - 26} \right| = 52\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 78\\d = - 26\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy có 2 mặt phẳng tiếp xúc với \((S)\) và song song với \((\alpha )\) là \(\left[ \begin{array}{l}4x + 3y - 12z + 78 = 0\\4x + 3y - 12z - 26 = 0\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.