Biết \(\int\limits_0^2 {x\ln \left( {{x^2} + 4} \right)dx} = a\ln 2 + b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{Z}}

Câu hỏi số 539094:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_0^2 {x\ln \left( {{x^2} + 4} \right)dx} = a\ln 2 + b\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = ab\) là:

A. \(T = 8\)

B. \(T = - 16\)

C. \(T = - 8\)

D. \(T = 16\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:539094

Phương pháp giải

- Đổi biến, đặt \(t = {x^2} + 4\).

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int {udv} = uv - vdu\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow dt = 2xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 2 \Rightarrow t = 8\end{array} \right.\).

Ta có \(\int\limits_0^2 {x\ln \left( {{x^2} + 4} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_4^8 {\ln tdt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\) ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_4^8 {\ln tdt} = \left. {t\ln t} \right|_4^8 - \int\limits_4^8 {dt} = 8\ln 8 - 4\ln 4 - \left( {8 - 4} \right)\\ = 24\ln 2 - 8\ln 2 - 4 = 14\ln 2 - 4\end{array}\)

Suy ra, \(\int\limits_0^2 {x\ln \left( {{x^2} + 4} \right)dx} = 7\ln 2 - 2\).

Vậy \(a = 7,\,\,b = - 2\) nên \(T = ab = - 16\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.