Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H nằm giữa A và O. Lấy
Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại H nằm giữa A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ. BF cắt CD tại E; AF cắt tia DC tại I.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: HA. HB = HE. HI
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF cắt AE tại M. Chứng minh rằng: M thuộc (O;R)
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp.
Xét \(\left( O \right):\,\,\angle AFB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle AFE = {90^0}\)
Mà \(\angle AHE = {90^0}\) (\(CD \bot AB\) tại \(H\)).
\( \Rightarrow \angle AFE + \angle AHE = {180^0}\)
Xét tứ giác \(AHEF\): \(\angle AFE + \angle AHE = {180^0}\) (cmt).
Mà \(\angle AFE\) và \(\angle AHE\) là 2 góc đối nhau.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp).
b) Chứng minh rằng: HA. HB = HE. HI
Ta có: \(\angle HIA + \angle A = {90^0}\) (\(\Delta AHI\) vuông tại \(H\)).
\(\angle ABF + \angle A = {90^0}\) (\(\Delta AFB\) vuông tại \(F\)).
\( \Rightarrow \angle HIA = \angle ABF\) (cùng phụ \(\angle A\)).
Xét \(\Delta HIA\) và \(\Delta HBE\)
\(\angle AHI = \angle BHE\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle AIH = \angle HBE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta HIA \sim \Delta HBE\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{HB}} = \dfrac{{HA}}{{HE}}\,\,\left( {Dn\,\,2\Delta \sim } \right)\\ \Leftrightarrow HA.HB = HI.HE\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF cắt AE tại M. Chứng minh rằng: M thuộc (O;R)
Gọi đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IEF\) là \(\left( {O'} \right)\), \(O'\) là trung điểm \(IE\).
Xét \(\left( {O'} \right)\)
\(\angle FME = \angle FIE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\)).
Mà \(\angle FIE = \angle FBA\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle FMA = \angle FBA\)
Xét tứ giác \(AFMB\) có \(\angle FMA = \angle FBA\) (cmt) .
Mà \(M\), \(B\) là 2 đỉnh kề nhau.
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AFMB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp).
Mà \(A,\,\,F,\,\,B \in \left( O \right)\) \( \Rightarrow M \in \left( O \right)\) (đpcm).
d) Tìm vị trí của H trên OA để tam giác OHD có chu vi lớn nhất.
Chu vi \(\Delta OHD\) \( = OH + OD + HD\).
\(\begin{array}{l}{\left( {OH + HD} \right)^2} = O{H^2} + H{D^2} + 2OH.HD = O{D^2} + 2OH.HD\\{\left( {OH + HD} \right)^2} = {R^2} + 2OH.HD\end{array}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho \(O{H^2} > 0\) và \(H{D^2} > 0\):
\(\begin{array}{l}O{H^2} + H{D^2} \ge 2\sqrt {O{H^2}.H{D^2}} \\ \Leftrightarrow {R^2} \ge 2OH.HD\\ \Leftrightarrow 2OH.HD \le {R^2}\\ \Leftrightarrow {R^2} + 2OH.HD \le {R^2} + {R^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {OH + HD} \right)^2} \le 2{R^2}\\ \Leftrightarrow OH + HD \le R\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow OH + HD + R \le R\sqrt 2 + R\\ \Leftrightarrow Chu\,\,vi\,\,\Delta OHD\,\,\max = R\sqrt 2 + R\end{array}\)
\( \Leftrightarrow O{H^2} = H{D^2} \Leftrightarrow OH = HD \Leftrightarrow \Delta OHD\) là tam giác vuông cân tại \(H\).
\(OH = OD.\cos \angle HOD = R.\cos {45^0} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy chu vi tam giác \(OHD\) max = \(R\sqrt 2 + R\) \( \Leftrightarrow H \in OA\) sao cho \(OH = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
