Cho tam giác \(ABC\), hai trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\). Tính diện tích tam giác
Cho tam giác \(ABC\), hai trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(G\). Tính diện tích tam giác \(GMN\), biết diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(S\).
Quảng cáo
Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Sử dụng định lí từ vuông góc đến song song.
Sử dụng Sử dụng định lý trường hợp đồng dạng của tam giác (góc – góc, cạnh – góc canh).
Sử dụng tính chất của tỉ số đồng dạng: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.
Xét \(\Delta ABC\) có: \(BM\) và \(CN\) là hai trung tuyến cắt nhau tại \(G\)nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Gọi \(I\) là gia điểm của \(AG\) và \(BC\) suy ra \(AI\) là trung tuyến thứ ba của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(\dfrac{{IG}}{{IA}} = \dfrac{1}{3}\) (tính chất trọng tâm của tam giác).
Từ \(A\) hạ đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC\), từ \(G\) hạ đường cao \(GK\) của \(\Delta GBC\).
Suy ra \(AH//GK \Rightarrow \angle AHI = \angle KGI\) (hai góc so le trong).
Xét \(\Delta HAI\) và \(\Delta KGI\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AHI = \angle KGI\\\angle I\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta KGI \sim \Delta HAI\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{IG}}{{IA}} = \dfrac{{GK}}{{AH}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(\dfrac{{{S_{GBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.GK.BC}}{{\dfrac{1}{2}.AH.BC}} = \dfrac{{GK}}{{AH}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\).
Xét \(\Delta ABC\) có: \(BM\) và \(CN\) là hai trung tuyến cắt nhau tại \(G\)nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
Suy ra: \(\dfrac{{NG}}{{GC}} = \dfrac{{MG}}{{GB}} = \dfrac{1}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác).
Xét \(\Delta GMN\) và \(\Delta GBC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{{NG}}{{GC}} = \dfrac{{MG}}{{GB}}\\\angle MGN = \angle BGC\left( {dd} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta GMN \sim \Delta GBC\) (c.g.c)
Suy ra: \(\dfrac{{{S_{GMN}}}}{{{S_{GBC}}}} = {\left( {\dfrac{{NG}}{{GC}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {S_{GMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{GBC}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{S_{ABC}} = \dfrac{S}{{12}}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
