Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :xy+yz +zx =670.Chứng minh

Câu hỏi số 54055:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :xy+yz +zx =670.Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}$ + $\frac{y}{y^{2}-zx+2010}$ + $\frac{z}{z^{2}-xy+2010}$ ≥ $\frac{1}{x+y+z}$

A. Click vào đáp án để xem

B. Click vào đáp án để xem

C. Click vào đáp án để xem

D. Click vào đáp án để xem

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:54055

Giải chi tiết

Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức:

Với ∀a,b,c ∈R và a,y,z > 0 ta có $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ (*)

Dâu "=" xảy ra < => $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$

Thật vậy a,b∈ R và x,y > 0 ta có : $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ ≥ $\frac{(a+b)^{2}}{x+y}$

< => Dâu "=" xảu ra < => $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ .áp dụng bất đảng thức (**) ta có :

$\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

< => Dâu "=" xảu ra<=> $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$ áp dụng bất đảng thức (**) ta có :

VT= $\frac{x}{x^{2}-yz +2010}$ + $\frac{y}{y^{2}-zx+2010}$ + $\frac{z}{z^{2}-yx+2010}$

= $\frac{x^{2}}{x(x^{2}-yz +2010)}$ + $\frac{y^{2}}{y(y^{2}-zx+2010)}$ + $\frac{z^{2}}{z(z^{2}-yx+2010)}$

≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz +2010(x+y+z)}$ (1)

Chú ý:x(x² –yz +2010 ) = x(x²+xy +zx +1340)>0,y(y²-zx +210) > 0

và z(z²-xy +2010)>0

Chứng minh

x³+y³+z³-3xyz= (x+y+z)(x²+ y²+z² –xy-yz-zx )

(x+y+x)[((x+y+x)²-3(xy+yz+zx)](2)

Do đó : x³+y³+z³-3xyz+2010= (x+y+z)[(x+y+z)²–3(xy-yz-zx) +2010] = (x+y+z)³ (3)

từ (1) và(3) ta suy ra :VT ≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{3}}$ = $\frac{1}{x+=y+z}$

Dâu "="xảy ra < => x = y =z = $\frac{\sqrt{2010}}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link