Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :xy+yz +zx =670.Chứng minh

Câu hỏi số 54055:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :xy+yz +zx =670.Chứng minh rằng

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}$ + $\frac{y}{y^{2}-zx+2010}$ + $\frac{z}{z^{2}-xy+2010}$ ≥ $\frac{1}{x+y+z}$

A. Click vào đáp án để xem

B. Click vào đáp án để xem

C. Click vào đáp án để xem

D. Click vào đáp án để xem

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:54055

Giải chi tiết

Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức:

Với ∀a,b,c ∈R và a,y,z > 0 ta có $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$ (*)

Dâu "=" xảy ra < => $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$

Thật vậy a,b∈ R và x,y > 0 ta có : $\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ ≥ $\frac{(a+b)^{2}}{x+y}$

< => Dâu "=" xảu ra < => $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ .áp dụng bất đảng thức (**) ta có :

$\frac{a^{2}}{x}$ + $\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ ≥ $\frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

< => Dâu "=" xảu ra<=> $\frac{a}{x}$ = $\frac{b}{y}$ = $\frac{c}{z}$ áp dụng bất đảng thức (**) ta có :

VT= $\frac{x}{x^{2}-yz +2010}$ + $\frac{y}{y^{2}-zx+2010}$ + $\frac{z}{z^{2}-yx+2010}$

= $\frac{x^{2}}{x(x^{2}-yz +2010)}$ + $\frac{y^{2}}{y(y^{2}-zx+2010)}$ + $\frac{z^{2}}{z(z^{2}-yx+2010)}$

≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz +2010(x+y+z)}$ (1)

Chú ý:x(x² –yz +2010 ) = x(x²+xy +zx +1340)>0,y(y²-zx +210) > 0

và z(z²-xy +2010)>0

Chứng minh

x³+y³+z³-3xyz= (x+y+z)(x²+ y²+z² –xy-yz-zx )

(x+y+x)[((x+y+x)²-3(xy+yz+zx)](2)

Do đó : x³+y³+z³-3xyz+2010= (x+y+z)[(x+y+z)²–3(xy-yz-zx) +2010] = (x+y+z)³ (3)

từ (1) và(3) ta suy ra :VT ≥ $\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{3}}$ = $\frac{1}{x+=y+z}$

Dâu "="xảy ra < => x = y =z = $\frac{\sqrt{2010}}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link