Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB = 2R\) và điểm\(C\) thuộc đường tròn đó

Câu hỏi số 540739:

Thông hiểu

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có đường kính \(AB = 2R\) và điểm\(C\) thuộc đường tròn đó \((C\) khác \(A,B)\). Lấy điểm \(D\) thuộc dây \(BC(D\) khác \(B,C)\). Tia \(AD\) cắt cung \(BC\) nhỏ tại \(E\). Tia \(AC\) cắt tia \(BE\) tại \(F\).

1) Chứng minh tứ giác \(FCDE\) là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(DA. DE = DB. DC\)

3) Chứng minh \(\angle CFD = \angle OCD\) . Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(FCDE\), chứng minh \(IC\) là tiếp tuyến \(\left( O \right)\).

4) Giả sử \(DF = R\). Chứng minh\(\tan \angle AFB = 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540739

Giải chi tiết

Xét \(\left( O \right):\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle FCD = {90^0}\) (kề bù \(\angle ACB)\)

Cmtt: \(\angle FED = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle FCD + \angle FED = {180^0}\)

Xét tứ giác \(FCDE:\angle FCD + \angle FED = {180^0}\left( {cmt} \right)\)

Mà \(\angle FCD;\angle FED\) là hai học đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(FCDE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

2) Xét \(\Delta DCA\) và \(\Delta DEB\) có:

\(\angle CDA = \angle EDB\) (hai góc đối đỉnh)

\(\angle ACD = \angle BED = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta DCA \sim \Delta DEB\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{DE}} = \dfrac{{DA}}{{DB}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow DA.DE = DB.DC\) (đpcm)

3) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDEF\): \(\angle CFD = \angle CED\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungCD\)) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right):\angle CEA = \angle CBA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungAC\)) \(\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta OCB:OB = OC = R\)

\( \Rightarrow \Delta OCB\) cân tại \(O\) (dhnb tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle OBC = \angle OCB\) (t/c tam giác cân) \(\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\angle CFD = \angle OCB\)

*) \(\angle FCD = {90^0} \Rightarrow FD\) là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDEF\)

\( \Rightarrow \) Tâm \(I\) đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDEF\) là trung điểm \(FD\).

\( \Rightarrow IC = ID \Rightarrow \Delta ICD\) cân tại \(I\)

\( \Rightarrow \angle ICD = \angle IDC\)

Ta có: \(\angle IDC + \angle CFD = {90^0}(\Delta FCD\) vuông tại \(C)\)

\(\angle CFD = \angle OCB\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ICD + \angle OCB = {90^0} \Rightarrow IC \bot OC\) tại \(C\)

Mà \(OC\) là bán kính của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow IC\) là tiếp tuyến \(\left( O \right)\) (dhnb tiếp tuyến đường tròn)

4) \(\Delta CFD \sim \Delta CBA\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CF}} = \dfrac{{BA}}{{FD}} = \dfrac{{2R}}{R} = 2\)

\(\Delta CBF\) vuông tại \(C\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \tan \angle CFB = \dfrac{{CB}}{{CF}}\\\,Ma\,\,\dfrac{{CB}}{{CF}} = 2\end{array} \right\} \Rightarrow \tan \angle CFB = 2 \Leftrightarrow \tan \angle AFB = 2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link