Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Đường phân giác của \(\angle AMB\) cắt cạnh \(AB\) ở \(D\),

Câu hỏi số 541064:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Đường phân giác của \(\angle AMB\) cắt cạnh \(AB\) ở \(D\), đường phân giác của \(\angle AMC\) cắt cạnh \(AC\) ở \(E\).

a) Chứng minh rằng: \(DE//BC\);

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(DE\) và \(AM\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(DE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541064

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, định lí Thales đảo trong tam giác.

Giải chi tiết

a) \(\Delta AMD\) có \(MD\) là phân giác của \(\angle AMD \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{AM}}{{MB}}\,\,\left( 1 \right)\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

\(\Delta AMC\) có \(ME\) là phân giác của \(\angle AMC \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}}\,\,\,\left( 2 \right)\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Mặt khác, \(AM\) là trung tuyến của \(\Delta ABC \Rightarrow BM = CM\)

Do đó, từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\)

\(\Delta ABC\) có \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\left( {cmt} \right) \Rightarrow DE//BC\) (định lí Thales đảo)

b) \(\Delta ABM\) có \(DI//BM\) nên ta có: \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}\,\,\,\,\left( 3 \right)\) (định llí Thales)

\(\Delta AMC\) có \(IE//CM\) nên ta có: \(\dfrac{{IE}}{{CM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}\,\,\left( 4 \right)\) (định lí Thales)

Từ (3) và (4), suy ra \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{IE}}{{CM}}\) mà \(BM = CM\) do đó \(DI = IE\).

Vậy \(I\) là trung điểm của \(DE\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link