1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\) 2) Cho

Câu hỏi số 541067:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\)

a) Giải phương trình với m= 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{3}{4}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541067

Phương pháp giải

1) Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

2) Thay \(m = 2\) vào phương trình và sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} + {\left( {3 - x} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} + 9 - 6x + {x^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\2{x^2} - 6x + 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\2{x^2} - 2x - 4x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)} \right\}\)

2) a) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.3 = 4\)

khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{4 + 2}}{2} = 3\); \({x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{4 - 2}}{2} = 1\)

Vây với \(m = 2\) phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {3;1} \right\}\)

b) Do \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt .

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \dfrac{{2m}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m.4 = 3\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 8m = 3{m^2} - 3\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 9m + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {3m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {3; - \dfrac{1}{3}} \right\}\) là những giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link