Cho nửa (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By thuộc cùng
Cho nửa (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối MA cắt OC tại E. Nối MB cắt OD tại F.
1) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật.
2) Chứng minh rằng: AC. BD = R2
3) Giả sử \(AC = R\sqrt 3 \). Tính độ dài cung MB.
4) Kẻ MH⊥AB; BC cắt MH tại điểm I. Chứng minh I là trung điểm của MH.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác có \(3\) góc vuông.
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Sử dụng lượng giác trong tam giác vuông và công thức tính số đo cung.
a) Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle AMB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do \(CA,CM\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(C\) của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow CA = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà \(OA = OM = R\) (cùng là bán kính của đường tròn)
Do đó \(OC\) là trung trực của \(AM\)\( \Rightarrow OC \bot AM\) tại \(E \Rightarrow \angle MEO = {90^o}\)
Chứng minh tương tự: \(\angle MFO = {90^o}\)
Xét tứ giác \(OEMF\) có: \(\angle MEO = \angle MFO = \angle EMF = {90^o}\)
Nên tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật (DHNB) (đpcm)
b) Do \(BD,DM\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\) của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow DM = DB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do tứ giác \(OEMF\) là hình chữ nhật nên \(\angle EOF = {90^o}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(COD\) ta có: \(O{M^2} = CM.MD \Rightarrow {R^2} = AC.BD\) (đpcm)
c) Tam giác \(ACO\) vuông tại \(A\) nên: \(\tan \angle AOC = \dfrac{{AC}}{{AO}} \Rightarrow \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle AOC = {60^o}\)
Do \(CA,CM\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(C\) của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow OC\) là phân giác \(\angle AOM\).
\( \Rightarrow \angle AOM = 2\angle AOC = {120^o}\)
\( \Rightarrow \angle MOB = {60^o}\) (kề bù \(\angle AOM\))
Số đo cung \(MB = \dfrac{{2\pi R}}{{360}}.60 = \dfrac{{2\pi R}}{6} = \dfrac{{\pi R}}{3}\)
d) Gọi giao điểm của \(BM\) và \(Ax\) là \(K\)
xét tam giác \(ABK\) ta có: \(O\) là trung điểm \(AB\), \(OC//BK\)
Suy ra \(C\) là trung điểm \(AK \Rightarrow AC = CK\)
Ta có: \(IH//AC\) (do \(IH \bot AB;\,AC \bot AB\))
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{AC}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\) (định lí Ta-lét)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{{IM}}{{CK}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{AC}} = \dfrac{{IM}}{{KC}}\). Mà \(AC = CK\)
Nên \(IH = IM\) suy ra \(I\) là trung điểm \(MH\)(đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
