Cho \(\left( {O;R} \right)\)với dây \(BC\) cố định. Điểm \(A\) thuộc cung \(BC\) lớn. Đường phân
Cho \(\left( {O;R} \right)\)với dây \(BC\) cố định. Điểm \(A\) thuộc cung \(BC\) lớn. Đường phân giác \(\angle BAC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\). Các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(C\) và \(D\) cắt nhau tại \(E\). Tia \(CD\) cắt \(AB\) tại \(K\), đường thẳng \(AD\) cắt \(CE\) tại \(I\)
1) Chứng minh bốn điểm \(O,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}D\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh \(BC//DE\).
3) Chứng minh tứ giác \(AKIC\) nội tiếp
4) \(AD\) cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AB.AC = A{M^2} + MB.MC\)
Quảng cáo
1) Chứng minh bốn điểm \(O,{\rm{ }}C,{\rm{ }}E,{\rm{ }}D\) cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: \(CE \bot OC\) (\(CE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow \angle OCE = {90^o}\)
\(DE \bot OD\) (\(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))
\( \Rightarrow \angle ODE = {90^o}\)
Do đó \(\angle OCE + \angle ODE = {180^o}\)
Mà \(\angle OCE\) và \(\angle ODE\) là 2 góc đối nhau
\( \Rightarrow OCED\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow O,C,E,D\) cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Chứng minh \(BC//DE\).
Xét \(\left( O \right):\,\angle BAD = \angle CAD\) (\(AD\) là phân giác \(\angle BAC\))
\( \Rightarrow sd\,cung\,BD = sd\,cung\,CD\)\( \Rightarrow \angle BOD = \angle COD\)\( \Rightarrow OD\) là phân giác \(\angle BOC\)
Xét \(\Delta BOC\) ta có: \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow \Delta BOC\) cân tại \(O\) (dhnb)
Mà \(OD\) là phân giác \(\angle BOC\, \Rightarrow OD \bot BC\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(OD\, \bot DE\) (\(DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))
Do đó \(BC//DE\) (đpcm)
3) Chứng minh tứ giác \(AKIC\) nội tiếp
Xét \(\left( O \right):\)
\(\angle AKC = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,cung\,AC - sd\,cung\,BD} \right)\) (Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn chắn cung \(AC\) và \(BD\))
\(\angle AIC = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,cung\,AC - sd\,cung\,CD} \right)\)(Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn chắn cung \(AC\) và \(CD\))
Mà \(sd\,cung\,BD = \,sd\,cung\,CD\)
Suy ra \(\angle AKC = \angle AIC\)
Xét tứ giác \(AKIC\) ta có: \(\angle AKC = \angle AIC\) (cmt)
Mà \(K\) và \(I\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow AKIC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
4) \(AD\) cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AB.AC = A{M^2} + MB.MC\)
Ta có: \(\Delta ABM\) đồng dạng \(\Delta ADC\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AB.AC = AD.AM\) (1)
\(\Delta BMD\) đồng dạng \(\Delta AMC\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{AM}} = \dfrac{{MD}}{{MC}} \Rightarrow MB.MC = AM.MD\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}AB.AC - MB.MC = AD.AM - AM.MD\\ \Leftrightarrow AB.AC - MB.MC = AM\left( {AD - MD} \right)\\ \Leftrightarrow AB.AC - MB.MC = AM.AM\\ \Leftrightarrow AB.AC = A{M^2} + MB.MC\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
