1. Giải phương trình: \({x^4} - 7{x^2} + 12 = 0\) 2. Cho \(\left( P \right):{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\)

Câu hỏi số 541093:

Vận dụng

1. Giải phương trình: \({x^4} - 7{x^2} + 12 = 0\)

2. Cho \(\left( P \right):{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\) và \(d:{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - mx - m + 1.\)

a) Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên trái trục tung.

b) Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) mà \({y_1} + {y_2}\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541093

Giải chi tiết

1) Giải phương trình: \({x^4} - 7{x^2} + 12 = 0\)

Đặt \({x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 7t + 12 = 0\)

\(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 > 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({t_1} = \dfrac{{7 - \sqrt 1 }}{2} = 3\) (tmđk); \({t_2} = \dfrac{{7 + \sqrt 1 }}{2} = 4\) (tmđk)

\(t = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \)

\(t = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 4 = \pm 2\)

Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { \pm \sqrt 3 ; \pm 2} \right\}\)

2) Cho \(\left( P \right):{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\) và \(d:{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - mx - m + 1.\)

a) Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên trái trục tung.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) ta có:

\({x^2} = - mx - m + 1 \Leftrightarrow {x^2} + mx + m - 1 = 0\)

\(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên trái trục \(Oy\) khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4.1.\left( {m - 1} \right) > 0\\m - 1 > 0\\ - m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 > 0\\m > 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\m > 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\)

b) Tìm \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) mà \({y_1} + {y_2}\) nhỏ nhất.

Ta có: \(y = {x^2} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = x_1^2 + x_2^2\)

\({y_1} + {y_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) (2)

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho (1) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = - m\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\)

\({y_1} + {y_2} = \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1\)

Ta có: \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\forall \,m \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\,\forall m\)

\( \Rightarrow {y_1} + {y_2} \ge 1\,\forall m\)

Suy ra \(\min \,\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\) (tmđk)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({y_1} + {y_2}\) là \(1\) khi \(m = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link