Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ các đường cao \(AH,BK\)

Câu hỏi số 541140:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ các đường cao \(AH,BK\) và \(CP\) của tam giác \(ABC\) với \(H \in BC,K \in AC\) và \(P \in AB\).

a) Chứng minh tứ giác \(BPKC\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: \(\angle BAH = \angle OAC\).

c) Đường thẳng \(PK\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(E\) và \(F\). Chứng minh \(OA\) là tia phân giác của \(\angle EAF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541140

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng mình: \(\angle BAH = {90^0} - \angle BAC\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\angle OAC = {90^0} - \angle BAC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.

c) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với \(\left( O \right)\)

Ta sẽ chứng minh: \(PK \bot OA\)

Gọi \(\left\{ M \right\} = OA \cap PK\)\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(EF\)

Chứng minh: \(\Delta AEF\) cân tại \(A\), suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(BPKC\) có: \(\angle BPC = \angle BKC = {90^0}\) nên \(P,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy tứ giác \(BPKC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

b) Tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên \(\angle BAH + \angle ABH = {90^0} \Rightarrow \angle BAH + \angle ABC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle BAH = {90^0} - \angle BAC\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta OAC\) có \(OA = OC\) nên \(\Delta OAC\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\) (tính chất tam giác cân)

Ta có: \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow 2\angle OAC = {180^0} - \angle AOC \Rightarrow \angle OAC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle AOC}}{2}\)

Lại có \(\angle AOC = 2\angle ABC\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \angle OAC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle AOC}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - 2\angle ABC}}{2} = {90^0} - \angle BAC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle BAH = \angle OAC\) (đpcm)

c) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với \(\left( O \right)\)

Ta có: \(\angle xAC = \angle ABC\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(AC\))

Mà \(\angle ABC = \angle AKP\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BPKC\)

\( \Rightarrow \angle xAC = \angle AKP\), mà hai góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow Ax//PK\) (dhnb)

Ta có: \(OA \bot Ax\) (do \(Ax\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A) \Rightarrow PK \bot OA\)

Gọi \(\left\{ M \right\} = OA \cap PK\) ta có: \(OA \bot EF\) tại \(M \Rightarrow M\) là trung điểm của \(EF\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \Delta AEF\) có \(AO\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại \(A\)

Vậy đường cao \(AO\) đồng thời là phân giác của \(\angle EAF\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link