Mạch điện xoay chiều AB gồm AM, MN và NB ghép nối tiếp, AM có điện trở R, MN là cuộn dây có

Câu hỏi số 541186:

Vận dụng cao

Mạch điện xoay chiều AB gồm AM, MN và NB ghép nối tiếp, AM có điện trở R, MN là cuộn dây có điện trở trong r không đổi nhưng có độ tự cảm L thay đổi được, NB là tụ C, mạch được mắc vào điện áp xoay chiều \(u = 220\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right)\,\,\left( V \right)\). Đồ thị biểu diễn \(\tan \varphi \) theo độ tự cảm L (\(\varphi \) là góc lệch pha giữa \({u_{MN}}\) và \({u_{AN}}\)). Khi góc \(\varphi \) đạt cực đại thì điện áp hiệu dụng của đoạn MB cũng đạt cực tiểu. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB khi cảm kháng của cuộn dây bằng hai lần dung kháng của tụ gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 459W.

B. 40,66W.

C. 484W.

D. 53,78W

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541186

Phương pháp giải

Độ lệch pha giữa điện áp và cường độ dòng điện: \(\tan \varphi = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{{R + r}}\)

Công thức lượng giác: \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\)

Bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Công suất tiêu thụ của đoạn mạch: \(P = \dfrac{{{U^2}\left( {R + r} \right)}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}\)

Giải chi tiết

Ta có mạch điện:

Độ lệch pha giữa điện áp hai đầu các đoạn mạch và cường độ dòng điện là:

\(\begin{array}{l}\tan {\varphi _{MN}} = \dfrac{{{Z_L}}}{r}\\\tan {\varphi _{AN}} = \dfrac{{{Z_L}}}{{R + r}}\end{array}\)

Ta có: \(\tan \varphi = \tan \left( {{\varphi _{MN}} - {\varphi _{AN}}} \right) = \dfrac{{\tan {\varphi _{MN}} - \tan {\varphi _{AN}}}}{{1 + \tan {\varphi _{MN}}\tan {\varphi _{AN}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{\dfrac{{{Z_L}}}{r} - \dfrac{{{Z_L}}}{{R + r}}}}{{1 + \dfrac{{{Z_L}}}{r}.\dfrac{{{Z_L}}}{{R + r}}}} = \dfrac{{{Z_L}R}}{{r\left( {R + r} \right) + {Z_L}^2}}\\ \Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{R}{{\dfrac{{r\left( {R + r} \right)}}{{{Z_L}}} + {Z_L}}}\end{array}\)

Để \({\left( {\tan \varphi } \right)_{\max }} \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{r\left( {R + r} \right)}}{{{Z_L}}} + {Z_L}} \right]\min \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{r\left( {R + r} \right)}}{{{Z_L}}} + {Z_L} \ge 2\sqrt {r\left( {R + r} \right)} \\ \Rightarrow \left[ {\dfrac{{r\left( {R + r} \right)}}{{{Z_L}}} + {Z_L}} \right]\min \Leftrightarrow {Z_L}^2 = r\left( {R + r} \right)\\ \Rightarrow {\left( {\tan \varphi } \right)_{\max }} = \dfrac{R}{{2\sqrt {r\left( {R + r} \right)} }} = \dfrac{4}{3}\\ \Rightarrow 9{R^2} = 64r\left( {R + r} \right) \Rightarrow 9{R^2} - 64rR - 64{r^2}\\ \Rightarrow R = 8r\\ \Rightarrow {Z_L}^2 = r\left( {R + r} \right) = r\left( {8r + r} \right) = 9{r^2}\\ \Rightarrow {Z_L} = 3r \Rightarrow r = \dfrac{{{Z_L}}}{3};\,\,R = 8r = \dfrac{{8{Z_L}}}{3}\end{array}\)

Từ đồ thị ta thấy \({\left( {\tan \varphi } \right)_{\max }} \Rightarrow L = \dfrac{3}{{10\pi }}\,\,\left( H \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Z_L} = \omega L = 100\pi .\dfrac{3}{{10\pi }} = 30\,\,\left( \Omega \right)\\ \Rightarrow r = \dfrac{{{Z_L}}}{3} = 10\,\,\left( \Omega \right)\\R = 8r = 80\,\,\left( \Omega \right)\end{array}\)

Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch MB là:

\({U_{MB}} = \dfrac{{U\sqrt {{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2} + 2Rr}}{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}} + 1} }}\)

Ta có: \({U_{MB\min }} \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{{R^2} + 2Rr}}{{{r^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}} \right]\max \)

\( \Leftrightarrow \left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)\min = 0 \Rightarrow {Z_C} = {Z_L} = 30\,\,\left( \Omega \right)\)

Khi cảm kháng của cuộn dây bằng 2 lần dung kháng: \({Z_L}' = 2{Z_C} = 60\,\,\left( \Omega \right)\), công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB là:

\(P = \dfrac{{{U^2}\left( {R + r} \right)}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2} + {{\left( {{Z_L}' - {Z_C}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{220}^2}.\left( {80 + 10} \right)}}{{{{\left( {80 + 10} \right)}^2} + {{\left( {60 - 30} \right)}^2}}} = 484\,\,\left( {\rm{W}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.