Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Trên tia tiếp tuyến kẻ từ \(A\)

Câu hỏi số 542363:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), đường kính \(AB\). Trên tia tiếp tuyến kẻ từ \(A\) cắt nửa đường tròn lấy điểm \(C\) sao cho \(AC > R\). Từ \(C\) kẻ tiếp tuyến thứ hai \(CD\) của nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), với \(D\) là tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm thứ hai của \(AD\) và \(OC\).

1) Chứng minh: \(ACDO\) là tứ giác nội tiếp.

2) Đường thẳng \(BC\)cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Chứng minh: \(C{D^2} = CM.CB\).

3) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh: \(\angle MHC = \angle CBO\) và \(\dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{KM}}{{KB}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:542363

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta CDM \sim \Delta CBD\left( {g.g} \right)\)

3) Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp, tính chất đường phân giác trong tam giác.

Giải chi tiết

1) Chứng minh: \(ACDO\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \(\left( O \right)\) có:

+ \(AC\) là tiếp tuyến nên \(AC \bot AB \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\)

+ \(CD\) là tiếp tuyến nên \(CD \bot OD \Rightarrow \angle CDO = {90^0}\)

Tứ giác \(ACDO\) có: \(\angle CAO + \angle CDO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle CAO\) và \(\angle CDO\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow ACDO\) là tứ giác nội tiếp.

2) Đường thẳng \(BC\)cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Chứng minh: \(C{D^2} = CM.CB\).

Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle CDM = \angle CBD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungMD\))

Xét \(\Delta CDM\) và \(\Delta CBD\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle MCD\,\,\,chung\\\angle CDM = \angle CBD\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CDM \sim \Delta CBD\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CM}} = \dfrac{{CB}}{{CD}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow C{D^2} = CM.CB\)

3) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh: \(\angle MHC = \angle CBO\) và \(\dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{KM}}{{KB}}\).

Xét \(\left( O \right)\) có: \(CA,CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CA = CD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(OA = OD = R\)

\( \Rightarrow CO\) là đường trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow OD \bot AD\) tại trung điểm \(H\) của \(AD\)

Lại có: \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle AMC = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AMB\))

Tứ giác \(ACMH\) có: \(\angle AMC = \angle AHC = {90^0}\)

Mà \(M,H\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(AC\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ACMH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AC\)

\( \Rightarrow \angle MHC = \angle MAC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungMC\))

Mà \(\angle MAC = \angle MBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungAM\))

\( \Rightarrow \angle MHC = \angle MBA\left( { = \angle MAC} \right)\) hay \(\angle MHC = \angle CBO\)

Vì \(\angle MHC = \angle CBO\) nên tứ giác \(OHMB\) nội tiếp (góc ngoài tại đỉnh \(H\) bằng góc trong tại đỉnh \(B\))

\( \Rightarrow \angle OHB = \angle OMB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungOB\))

\(\Delta OMB\) cân tại \(O\left( {do\,OM = OB} \right) \Rightarrow \angle OMB = \angle MBO\)

Vậy \(\angle MHC = \angle MBO = \angle OMB = \angle OHB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} - \angle MHC = {90^0} - \angle OHB\\ \Rightarrow \angle MHK = \angle BHK\end{array}\)

\( \Rightarrow HK\) là tia phân giác trong tại đỉnh \(H\) của \(\Delta MHB\).

Lại có: \(HC \bot HK \Rightarrow HC\) là phân giác ngoài tại đỉnh \(H\) của \(\Delta MHB\)

Theo tính chất đường phân giác, ta có: \(\dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{HM}}{{HB}} = \dfrac{{KM}}{{KB}}\)

Vậy \(\dfrac{{CM}}{{CB}} = \dfrac{{KM}}{{KB}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link