Cho hình vuông \(ABCD\),\(E \in BC\), tia \(AE\) cắt \(DC\) tại \(M\), tia \(DE\) cắt \(AB\) tại \(N\), tia

Câu hỏi số 543967:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD\),\(E \in BC\), tia \(AE\) cắt \(DC\) tại \(M\), tia \(DE\) cắt \(AB\) tại \(N\), tia \(BM\) cắt \(CN\) tại \(K\), tia \(NC\) cắt \(AD\) tại \(I\).

a) Chứng minh: \(B{C^2} = BN.CM\).

b) Gọi \(Q\) là hình chiếu của \(I\) trên \(BC\). Tính \(\angle AKQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543967

Phương pháp giải

a) \(\Delta EAB \sim \Delta ECM\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{EB}}\)

\(\Delta EBN \sim \Delta ECD \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{BN}} = \dfrac{{EC}}{{EB}}\)

Sử dụng tính chất bắc cầu và tính chất của hình vuông, suy ra được hệ thức cần phải chứng minh.

b) Trong một tam giác có trung tuyến bằng một nửa của cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.

\(\left. \begin{array}{l}NB = \dfrac{{N{C^2}}}{{NB + MC}}\\\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{KC}} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NK + KC}} = \dfrac{{NB}}{{NB + MC}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{NB}} \Rightarrow BK \bot IK \Rightarrow \angle AKQ = 90^\circ \)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là hình vuông (gt)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//CD,BC//AD\\AB = BC = CD = AD\end{array} \right.\)

Vì \(AB//CM \Rightarrow \Delta EAB \sim \Delta ECM\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{EB}}\) (1)

Vì \(BN//CD \Rightarrow \Delta EBN \sim \Delta ECD \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{BN}} = \dfrac{{EC}}{{EB}}\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{CM}}{{AB}} = \dfrac{{CD}}{{BN}} \Leftrightarrow AB.CD = CM.BN\)

Mà \(BC = AB = CD\left( {cmt} \right)\)

Do đó, \(B{C^2} = BN.CM\)

b) \(\Delta NBC\) vuông tại \(B\), theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,N{C^2} = N{B^2} + B{C^2}\\ \Leftrightarrow N{C^2} = N{B^2} + BN.CM\\ \Rightarrow NB = \dfrac{{N{C^2}}}{{NB + MC}}\end{array}\)

Vì \(NB//MC \Rightarrow \Delta NKB \sim \Delta CKM(g.g)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{MC}} = \dfrac{{NK}}{{KC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NK + KC}} = \dfrac{{NB}}{{NB + MC}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{NC}} = \dfrac{{NB}}{{NB + MC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{NK.NC}}{{N{C^2}}} = \dfrac{{NB}}{{NB + MC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{NK.NC}}{{NB}} = \dfrac{{N{C^2}}}{{NB + MC}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{NK.NC}}{{NB}} = NB\\ \Rightarrow NK.NC = N{B^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{NB}}\)

Xét \(\Delta NBC\) và \(\Delta NCB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{NK}}{{NB}}\\\angle BNC\;chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta NBK \sim \Delta NCB(c.g.c) \Rightarrow \angle NBC = \angle NBK\)

Mà \(\angle NBC = {90^0}\) (kề bù với \(\angle ABC = {90^0}\))

\( \Rightarrow \angle NBC = \angle NBK = {90^0}\)\( \Rightarrow BK \bot IK\)

\( \Rightarrow \Delta BKI\) vuông tại \(K\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot BQ\\BA \bot AI\\IQ \bot BQ\end{array} \right\} \Rightarrow ABQI\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABQI \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AO = OQ\\OB = OI\\AQ = BI\end{array} \right.\)(tính chất hình chữ nhật)

Xét \(\Delta BKI\) vuông tại \(K\)có: \(OB = OI \Rightarrow KO\)là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của \(\Delta BKI\)

\( \Rightarrow KO = \dfrac{1}{2}BI = \dfrac{1}{2}AQ \Rightarrow \Delta KAQ\) vuông tại \(K \Rightarrow \angle AKQ = 90^\circ \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link