Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2}
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 10\) và hai điểm A(1;2;–4); B(1;2;14). Điểm M(a;b;c) là điểm nằm trên mặt cầu (S) sao cho P = MA + 2MB đạt GTNN. Khi đó a + b + c bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi điểm C thỏa mãn MA = 2MC
GTNN của MA + 2MB là BC
Tìm giao của BC với mặt cầu, chính là điểm M cần tìm
Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;2) và bán kính \(R = \sqrt {10} \). Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;2; - 6} \right);IA = \sqrt {{2^2} + {6^2}} = 2\sqrt {10} = 2R\)
Gọi C là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IC} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {IA} = \left( {0;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow C\left( {1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
Có \(I{M^2} = IC.IA \Rightarrow \Delta IMC\~\Delta IAM{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{IA}}{{IM}} = 2 \Rightarrow MA = 2MC \Rightarrow MA + 2MB = 2\left( {MB + MC} \right) \ge BC\)
Đẳng thức xảy ra khi M trùng M’ là giao của đoạn BC với (S)
M’ thuộc đoạn BC \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM'} = k\overrightarrow {CB} = \left( {0;\dfrac{3}{2}k;\dfrac{{27}}{2}k} \right){\rm{ }}\left( {k > 0} \right)\)
\( \Leftrightarrow M'\left( {1;\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}k;\dfrac{1}{2} + \dfrac{{27}}{2}k} \right)\). Ta có \(M' \in \left( S \right) \Leftrightarrow IM' = \sqrt {10} \Leftrightarrow 0 + {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}k} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{27}}{2}k - \dfrac{3}{2}} \right)^2} = 10\)
\( \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow M'\left( {1;1;5} \right)\).
Vậy \(a + b + c = 7\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
