Cho hai ham số f(x), g(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x

Câu hỏi số 546121:

Vận dụng

Cho hai ham số f(x), g(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 8\) và \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]dx} = 11\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_{2021}^{2022} {f\left( {2022 - x} \right)dx} + 5\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {g\left( {3x} \right)dx} \) bằng:

A. 10

B. 0

C. 20

D. 5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546121

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \), \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\left( {k \ne 0} \right)\), giải hệ phương trình tìm \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \).

- Xét từng tích phân \(\int\limits_{2021}^{2022} {f\left( {2022 - x} \right)dx} \), \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {g\left( {3x} \right)dx} \), lần lượt đổi biến \(t = 2022 - x\) và \(u = 3x\), từ đó tính từng tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 8\\\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]dx} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 8\\\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5\\\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 3\end{array} \right.\)

Xét \(\int\limits_{2021}^{2022} {f\left( {2022 - x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2022 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2021 \Rightarrow t = 1\\x = 2022 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \int\limits_{2021}^{2022} {f\left( {2022 - x} \right)dx} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5\).

Xét \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {g\left( {3x} \right)dx} \)

Đặt \(u = 3x \Rightarrow du = 3dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {g\left( {3x} \right)dx} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {g\left( u \right)du} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = 1\).

Vậy \(\int\limits_{2021}^{2022} {f\left( {2022 - x} \right)dx} + 5\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {g\left( {3x} \right)dx} = 5 + 5.1 = 10\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.