Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\)

Câu hỏi số 546122:

Vận dụng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng AC’ cắt các cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B lần lượt tại các điểm M, N, P, Q, R, S. Thể tích khối chóp A.MNPQRS bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{8}\)

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:546122

Phương pháp giải

- Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh MNPQRS là lục giác đều và tính diện tích của nó.

- Tính thể tích \({V_{A.MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}AO.{S_{MNPQRS}}\).

Giải chi tiết

Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

=> O là trung điểm của AC’ nên \(O \in \left( \alpha \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'} \right) \Rightarrow BD \bot AC'\\\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\A'B \bot B'C'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'\\ \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)\end{array}\)

=> \(\left( \alpha \right)\) cắt (BDD’B’) theo đường thẳng đi qua O, song song với BD.

=> S, P lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.

=> Dễ thấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, A’D’, A’B’.

=> MNPQRS là lục giác đều cạnh \(MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

=> S_MNPQRS= 6S_OMN\( = \dfrac{{6.{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Mà \(AO = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \({V_{A.MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}AO.{S_{MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.