Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng AC’ cắt các cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B lần lượt tại các điểm M, N, P, Q, R, S. Thể tích khối chóp A.MNPQRS bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh MNPQRS là lục giác đều và tính diện tích của nó.
- Tính thể tích \({V_{A.MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}AO.{S_{MNPQRS}}\).
Gọi O là tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
=> O là trung điểm của AC’ nên \(O \in \left( \alpha \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'} \right) \Rightarrow BD \bot AC'\\\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\A'B \bot B'C'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'\\ \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)\end{array}\)
=> \(\left( \alpha \right)\) cắt (BDD’B’) theo đường thẳng đi qua O, song song với BD.
=> S, P lần lượt là trung điểm của BB’, DD’.
=> Dễ thấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, A’D’, A’B’.
=> MNPQRS là lục giác đều cạnh \(MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
=> SMNPQRS = 6SOMN \( = \dfrac{{6.{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Mà \(AO = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \({V_{A.MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}AO.{S_{MNPQRS}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
