Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một

Câu hỏi số 547237:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích tam giác ABC là

A. \(9\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(3\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547237

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Áp dụng BĐT Cô–si để giải quyết hệ ba ẩn.

Từ đó tính ra cạnh tam giác đều ABC.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Giả sử \(\left( P \right):\,\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) với \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\). Mặt phẳng thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27\\\dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,{\rm{ }}\left( I \right)\)

Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương, ta có

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} = 9\).

Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2}\).

Do đó hệ \(\left( I \right) \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} = 9 \Leftrightarrow a = b = c = 3\).

\( \Rightarrow A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {0;3;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right)\). Khi đó tam giác ABC đều và \(AB = 3\sqrt 2 \).

Vậy \({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.