Một khối gỗ hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn

Câu hỏi số 547250:

Vận dụng

Một khối gỗ hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A, B sao cho cung AB có số đo 120^o. Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A, B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Biết diện tích S của thiết diện thu được có dạng \(S = a\pi + b\sqrt 3 \). Giá trị của a + b là

A. 50

B. 30

C. 45

D. 60

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547250

Phương pháp giải

Nếu (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên mặt đáy và góc giữa (H) và đáy là α thì ta có công thức tỉ lệ diện tích của hình (H’) và (H) là cos α

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB. O, O’ lần lượt là tâm 2 mặt đáy và I là tâm của hình trụ (trung điểm của OO’).

Thiết diện thu được là ABCD như hình vẽ, hợp với đáy một góc \(\alpha = \angle OMI\).

Vì cung AB có số đo \({120^0}\) nên \(\angle AOB = {120^0}\) \( \Rightarrow \angle AOM = {60^0}\).

Xét tam giác vuông AOM vuông tại M ta có: \(OM = OA.\cos {60^0} = 6.\dfrac{1}{2} = 3\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OIM ta có: \(MI = \sqrt {O{M^2} + O{I^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Thiết diện thu được hợp với đáy một góc α sao cho \(\cos \alpha = \dfrac{{OM}}{{IM}} = \dfrac{3}{5}\).

Hình chiếu của thiết diện trên đáy là một phần của hình tròn, gồm 2 tam giác cân và 2 hình quạt, có diện tích bằng \(S' = 2.\dfrac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{\pi {{.6}^2}.120^\circ }}{{360^\circ }} = 12\pi + 18\sqrt 3 \).

Suy ra \(\dfrac{{S'}}{S} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow S = \dfrac{{5S'}}{3} = 20\pi + 30\sqrt 3 \).

Vậy \(a = 20,\,\,b = 30\) nên \(a + b = 50\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.