Cho tam giác\(KBC\) vuông tại \(K\)\(\left( {KB < KC} \right)\). Tia phân giác của \(\angle B\) cắt cạnh

Câu hỏi số 547956:

Vận dụng

Cho tam giác\(KBC\) vuông tại \(K\)\(\left( {KB < KC} \right)\). Tia phân giác của \(\angle B\) cắt cạnh \(KC\) tại \(H\). Qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với tia \(BH\) cắt đường thẳng \(BH\) tại \(I\).

a) Chứng minh tam giác\(BHK\) đồng dạng với tam giác \(CHI\);

b) Chứng minh \(C{I^2} = IH.IB\);

c) Tia \(BK\) cắt tia \(CI\) tại \(A\), tia \(AH\) cắt \(BC\) tại \(D\). Chứng minh \(KC\) là tia phân giác của \(\angle IKD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547956

Phương pháp giải

a) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta BHK \sim \Delta CHI\left( {g.g} \right)\)

b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta CIB \sim \Delta HIC\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow C{I^2} = HI.IB\)

c) Ta sẽ chứng minh: \(\angle HBC = \angle DKC\)\( = \angle HAC = \angle IKC\)

Suy ra \(\angle DKC = \angle IKC\) hay \(KC\) là tia phân giác của \(\angle IKD\).

Giải chi tiết

a) Vì tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow \angle BKH = {90^o}\)

Vì \(CI \bot BI\)(gt)\( \Rightarrow \angle CIH = {90^0}\)

Xét \(\Delta KBH\) và \(\Delta CHI\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BKH = \angle CIH\left( { = {{90}^0}} \right)\\\angle BHK = \angle CHI\left( {hai\,\,goc\,\,doi\,\,dinh} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta CHI\left( {g.g} \right)\)

b) Ta có \(\Delta BHK \sim \Delta CHI\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle HBK = \angle HCI\) (hai góc tương ứng)

Mà \(BD\) là tia phân giác của \(\angle ABC\) nên \(\angle HBK = \angle HBC\)

Do đó \(\angle HBC = \angle HCI\)

Xét \(\Delta CIB\) và \(\Delta HIC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle CIB\,\,\,chung\\\angle IBC = \angle HCI\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CIB \sim \Delta HIC\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{CI}}{{HI}} = \dfrac{{IB}}{{IC}}\\ \Rightarrow C{I^2} = HI.IB\end{array}\)

c) Xét \(\Delta ABC\)có \(BI \bot AC;CK \bot AB;BI \cap CK = \left\{ H \right\}\) nên \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow AH \bot BC\) tại \(D\)

Từ đó ta có \(\Delta BKC \sim \Delta HDC\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CH}} = \dfrac{{CK}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{CB}}{{CK}} = \dfrac{{CH}}{{CD}}\)

Do đó \(\Delta BHC \sim \Delta KDC\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle HBC = \angle DKC\) (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\angle HAC = \angle IKC\)

Mà \(\angle HAC = \angle HBC\) (cùng phụ \(\angle ACB\))

Suy ra \(\angle DKC = \angle IKC\) hay \(KC\) là tia phân giác của \(\angle IKD\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link