Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\).a) Chứng minh \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\).b) Tính

Câu hỏi số 548388:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\).

a) Chứng minh \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\).

b) Tính độ dài đoạn thẳng \(AC\), biết \(CH = 4cm;BC = 13cm\)

c) Gọi \(E\) là điểm tùy ý trên cạnh \(AB\), đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(HE\) cắt cạnh \(AC\) tại \(F\). Chứng minh \(AE.CH = AH.FC\).

d) Tìm vị trí của điểm \(E\) trên cạnh \(AB\) để tam giác \(HEF\) có diện tích nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548388

Phương pháp giải

a) \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\)

b) \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\left( {cmt} \right) \Rightarrow A{C^2} = CH.BC \Rightarrow AC\)

c) Ta sẽ chứng minh: \(\left. \begin{array}{l}\angle EHA = \angle FHC\\\angle EAH = \angle FCH\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta CHF\left( {g.g} \right)\)

d) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta EHF \sim \Delta ABC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow {S_{\Delta EHF}} = {\left( {\dfrac{{HE}}{{AB}}} \right)^2}.{S_{\Delta ABC}}\)

Vì \({S_{\Delta ABC}}\) và \(AB\) không đổi nên \({S_{\Delta EHF}}\) nhỏ nhất khi \(HE\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow HE \bot AB\)

Vậy \({S_{\Delta EHF}}\) nhỏ nhất khi \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\).

Giải chi tiết

a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle BAH + \angle HAC = {90^0}\)

\(AH \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AHB = {90^0} \Rightarrow \angle BAH + \angle ABH = {90^0}\)

Suy ra, \(\angle HAC = \angle ABH\) (vì cùng phụ với \(\angle BAH\))

Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle ACB\,\,\,chung\\\angle ABC = \angle HAC\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HAC \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\)

b) \(\Delta HAC \sim \Delta ABC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{AC}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} = CH.BC\\ \Rightarrow A{C^2} = 4.13\\ \Rightarrow A{C^2} = 52\\ \Rightarrow AC = 2\sqrt {13} \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy \(AC = 2\sqrt {13} \,cm\)

c) Ta có: \(EH \bot HF \Rightarrow \angle EHF = {90^0} \Rightarrow \angle EHA + \angle AHF = {90^0}\)

Lại có: \(\angle AHC = {90^0} \Rightarrow \angle CHF + \angle AHF = {90^0}\)

Suy ra, \(\angle EHA = \angle CHF\) (cùng phụ với \(\angle AHF\))

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \angle BAC = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle BAH + \angle HAC = {90^0}\)

\(AH \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AHC = {90^0} \Rightarrow \angle HAC + \angle HCA = {90^0}\)

Suy ra, \(\angle BAH = \angle HCA\) (vì cùng phụ với \(\angle HAC\)) hay \(\angle EAH = \angle FCH\)

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta CHF\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle EHA = \angle FHC\left( {cmt} \right)\\\angle EAH = \angle FCH\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta CHF\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CF}} = \dfrac{{AH}}{{CH}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow AE.CH = AH.FC\)

d) Ta có: \(\Delta AHE \sim \Delta CHF\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{EH}}{{FH}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\(\Delta HAC \sim \Delta ABC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng(

Suy ra \(\dfrac{{EH}}{{FH}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\dfrac{{HE}}{{AB}} = \dfrac{{HF}}{{AC}}\)

Xét \(\Delta EHF\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle H = \angle A = {90^0}\\\dfrac{{HE}}{{AB}} = \dfrac{{HF}}{{AC}}\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta EHF \sim \Delta ABC\left( {c.g.c} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta EHF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{HE}}{{AB}}} \right)^2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta EHF}} = {\left( {\dfrac{{HE}}{{AB}}} \right)^2}.{S_{\Delta ABC}}\end{array}\)

Vì \({S_{\Delta ABC}}\) và \(AB\) không đổi nên \({S_{\Delta EHF}}\) nhỏ nhất khi \(HE\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow HE \bot AB\)

Vậy \({S_{\Delta EHF}}\) nhỏ nhất khi \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link