Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + 4 \ge ab + 2\left( {a + b} \right)\) với mọi \(a,b\)

Câu hỏi số 548389:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548389

Phương pháp giải

Giả sử \({a^2} + {b^2} + 4 \ge ab + 2\left( {a + b} \right)\), ta biến đổi thành tổng có chứa các số hạng có dạng \({f^2}\left( x \right)\) từ đó chứng minh được điều giả sử là đúng.

Giải chi tiết

Giả sử \({a^2} + {b^2} + 4 \ge ab + 2\left( {a + b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 8 \ge 2ab + 4a + 4b\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(a,b\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\)

Vậy \({a^2} + {b^2} + 4 \ge ab + 2\left( {a + b} \right)\) với mọi \(a,b\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link