Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các mặt là tam giác đều. \(SH\) là đường cao của hình chóp.

Câu hỏi số 549923:

Vận dụng

Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có các mặt là tam giác đều. \(SH\) là đường cao của hình chóp. \(O\) là trung điểm của \(SH\). Chứng minh rằng \(\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90^\circ \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:549923

Phương pháp giải

Đường cao của tam giác đều cạnh \(a\) là : \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(O{C^2} + O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} = B{C^2}\) \( \Rightarrow \Delta BOC\) vuông cân tại \(O\) (định lí Py – ta – go đảo) \( \Rightarrow \angle BOC = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự ta được: \(\angle AOC = \angle AOC = 90^\circ \)

Giải chi tiết

Gọi \(a\) là cạnh của hình chóp tam giác đều và \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(\Delta ABC\) đều và \(CM\) đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (\(M\)là trung điểm của \(AB\))

\( \Rightarrow CM\) là đường cao của tam giác đều cạnh \(a\)\( \Rightarrow CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(SH\) là đường cao của hình chóp tam giác đều \( \Rightarrow H\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow CH = \dfrac{2}{3}CM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABC} \right)\\CH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot CH \Rightarrow \Delta SCH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng địng lý Py – ta – go vào \(\Delta SCH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,S{C^2} = S{H^2} + C{H^2}\\ \Rightarrow S{H^2} = S{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow SH = a\sqrt {\dfrac{2}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Ta có: \(OH = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vì \(SH \bot CH\) hay \(OH \bot CH \Rightarrow \Delta OCH\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào \(\Delta OCH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(O{C^2} = C{H^2} + O{H^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(O{A^2} = O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Xét \(\Delta BOC\) có: \(O{C^2} + O{B^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = {a^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta BOC\) vuông cân tại \(O\) (định lí Py – ta – go đảo) \( \Rightarrow \angle BOC = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự ta được: \(\angle AOC = \angle AOC = 90^\circ \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link