Từ điểm \(S\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), vẽ hai tiếp tuyến \(SA,SB\) với đường tròn

Câu hỏi số 550817:

Vận dụng

Từ điểm \(S\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), vẽ hai tiếp tuyến \(SA,SB\) với đường tròn (\(A,B\) là các tiếp điểm) và cát tuyến \(SCD\) không đi qua \(O(C\) nằm giữa \(S\) và \(D)\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(SO\) với cung nhỏ \(AB\) và \(H\) là giao điểm của \(SO\) với đoạn thẳng \(AB\). Chứng minh:

a) Tứ giác \(SAOB\) nội tiếp;

b) \(S{A^2} = SC.SD\);

c) \(\angle SCK = \angle HCK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550817

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta SAC \sim \Delta SDA\left( {g.g} \right) \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\)

c) Chứng minh: \(\dfrac{{SC}}{{CH}} = \dfrac{{SO}}{{OA}}\); \(\dfrac{{SK}}{{KH}} = \dfrac{{SA}}{{AH}}\); \(\dfrac{{SO}}{{OA}} = \dfrac{{SA}}{{AH}}\)suy ra \(\dfrac{{SC}}{{CH}} = \dfrac{{SK}}{{KH}}\)

Do đó \(CK\) là tia phân giác của góc \(\angle SCH \Rightarrow \angle SCK = \angle HCK\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle SAO = \angle SBO = {90^o}\) (vì \(SA,SB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)).

Xét tứ giác \(SAOB\) ta có: \(\angle SAO + \angle SBO = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác \(SAOB\) nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét \(\Delta SAC\) và \(\Delta SDA\) ta có:

\(\angle ASD\) chung

\(\angle SAC = \angle SDA\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

\( \Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{SC}}{{SA}}\) (định nghĩa tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\) (đpcm).

c) Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta SAO\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) ta có:

\(SH.SO = SC.SD \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SD}} = \dfrac{{SC}}{{SO}}(*)\)

Xét \(\Delta SHC\) và \(\Delta SDO\) ta có:

\(\dfrac{{SH}}{{SD}} = \dfrac{{SC}}{{SO}}\)

\(\angle DSO\) chung

\( \Rightarrow \Delta SHC \sim \Delta SDO\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SC}}{{HC}} = \dfrac{{SO}}{{DO}} = \dfrac{{SO}}{{OA}}\) hay \(\dfrac{{SC}}{{CH}} = \dfrac{{SO}}{{OA}}\) (1) (vì \(OD = OA = R\))

Xét \(\left( O \right):SA,SB\) là tiếp tuyến của đường tròn

\( \Rightarrow SA = SB\) (tính chất hai tiếp cắt nhau)

Lại có: \(OA = OB = R\)

\( \Rightarrow OS\) là đường trung trục của đoạn \(AB\)

Mà \(K \in OS \Rightarrow AK = BK\) (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow cungAK = cungBK\)

\( \Rightarrow \angle SAK = \angle KAB\) (cùng chắn 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow AK\) là đường phân giác của \(\angle SAH\).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: \(\dfrac{{SK}}{{KH}} = \dfrac{{SA}}{{AH}}\) (2)

Xét \(\Delta SHA\) và \(\Delta SAO\) ta có:

\(\angle OSA\) chung

\(\angle SHA = \angle SAO = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta SHA \sim \Delta SAO\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OA}} = \dfrac{{SA}}{{AH}}\) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{SC}}{{CH}} = \dfrac{{SK}}{{KH}}\).

Do đó \(CK\) là tia phân giác của góc \(\angle SCH \Rightarrow \angle SCK = \angle HCK\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link