Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia đối tia \(BA\) lấy điểm \(C(C\)

Câu hỏi số 550952:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia đối tia \(BA\) lấy điểm \(C(C\) không trùng với \(B)\). Kẻ tiếp tuyến \(CD\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(D\) là tiếp điểm), tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(E\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AODE\) nội tiếp.

b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE,K\) là giao điểm của \(BE\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(K\) không trùng với \(B\)). Chứng minh \(\angle EHK = \angle KBA\)

c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(CE\) tại \(M\). Chứng minh \(\dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550952

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

+ Tứ giác \(AHKE\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\)

+ \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))

\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)

c) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MOE = \angle AEO;\angle AEO = \angle MEO \Rightarrow \)\(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M \Rightarrow ME = MO\)

Áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

+ \(EA\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle EAB = {90^0}\)

+ \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle ODE = {90^0}\)

Tứ giác \(AODE\) có: \(\angle EAB + \angle ODE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AODE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn

Mà \(EA \cap ED = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow EA = ED\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: \(OA = OD = R\)

\( \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AD\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow EO \bot AD\\ \Rightarrow \angle EHA = {90^0}\end{array}\)

Ta có: \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle EKA = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AKB\))

Xét tứ giác \(AHKE\) có: \(\angle EKA = \angle EHA = {90^0}\)

Mà \(K,H\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow AHKE\) là tứ giác nội tiếp

\( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungEK\))

Mà \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))

\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\left( {gt} \right)\\EA \bot AB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//EA\) (quan hệ từ vuông góc đến dây cung)

\( \Rightarrow \angle MOE = \angle AEO\) (hai góc so le trong) (1)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn

Mà \(EA \cap ED = \left\{ D \right\}\)

\( \Rightarrow \angle AEO = \angle DEO\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle AEO = \angle MEO\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M \Rightarrow ME = MO\)

\(\Delta CAE\) có \(OM//EA\left( {cmt} \right)\), áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét, ta có:

\(\dfrac{{OM}}{{AE}} = \dfrac{{MC}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{OM}} = \dfrac{{CE}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{MC + EM}}{{MC}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = 1 + \dfrac{{EM}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\) (vì \(ME = MO\))

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link