Cho khai triển \({\left( {2 + 3x} \right)^{2021}} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{2021}}{x^{2021}}\).

Câu hỏi số 551973:

Vận dụng

Cho khai triển \({\left( {2 + 3x} \right)^{2021}} = {a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{2021}}{x^{2021}}\). Hệ số lớn nhất trong khai triển đã cho là:

A. \({a_{1213}}\)

B. \({a_{1214}}\)

C. \({a_{1212}}\)

D. \({a_{1215}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551973

Phương pháp giải

Tìm hệ số \({a_k}\)

\({a_k}\) max khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({a_k} = C_{2021}^k{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k}{.2^{2021}}\)

Giả sử \({a_k}\) max khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2021!}}{{k!\left( {2021 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k} \ge \dfrac{{2021!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2020 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{k + 1}}\\\dfrac{{2021!}}{{k!\left( {2021 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k} \ge \dfrac{{2021!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {2022 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{k - 1}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{k + 1}}{{2021 - k}} \ge \dfrac{3}{2}\\\dfrac{{2022}}{k} \ge \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)2 - 3\left( {2021 - k} \right)}}{{2\left( {2021 - k} \right)}} \ge 0\\\dfrac{{3\left( {2022 - k} \right) - 2k}}{{3k}} \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1213 \le k \le 2021\\0 \le k \le 1213\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow k = 1213\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.