Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({9^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - \left(

Câu hỏi số 552269:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({9^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} - \left( {m + 3} \right){.3^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} + 2m + 1 = 0\) có nghiệm thực?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 7

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552269

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {3^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(t).

- Khảo sát hàm số f(t) trên tập giá trị của t và biện luận phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {3^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }}\).

Ta có \(1 \le 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \le 2\) \( \Rightarrow 3 \le {3^{1 + \sqrt {1 - {x^2}} }} \le 9 \Rightarrow 3 \le t \le 9\).

Phương trình trở thành

\({t^2} - \left( {m + 3} \right)t + 2m + 1 = 0,\,\,t \in \left[ {3;9} \right]\).

\( \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = m\left( {t - 2} \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 3t + 1}}{{t - 2}}\,\,\left( * \right)\) (do \(t \in \left[ {3;9} \right]\) nên \(t - 2 > 0\)).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 3t + 1}}{{t - 2}},\,\,t \in \left[ {3;9} \right]\) ta có:

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 3} \right)\left( {t - 2} \right) - \left( {{t^2} - 3t + 1} \right)}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} - 4t + 5}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {3;9} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {3;9} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 3 \right);f\left( 9 \right)} \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left[ {1;\dfrac{{55}}{7}} \right]\).

Do đó phương trình (*) có nghiệm thực \( \Leftrightarrow m \in \left[ {1;\dfrac{{55}}{7}} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {1;2;...7} \right\}\). Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.