Cho \(f\left( x \right) = 2023.\ln \left( {{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}} \right)\). Tính giá trị

Câu hỏi số 552268:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right) = 2023.\ln \left( {{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(H = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2022} \right)\).

A. \(2022\)

B. \({e^{2022}}\)

C. \({e^{1011}}\)

D. \(1011\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552268

Phương pháp giải

- Tính f’(x).

- Xét hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{{{e^t}}}{{{e^t} + \sqrt e }}\). Chứng minh \(g\left( t \right) + g\left( {1 - t} \right) = 1\). Từ đó suy ra \(f'\left( x \right) + f'\left( {2023 - x} \right) = 1\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = 2023.\ln \left( {{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2023\dfrac{{{{\left( {{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}} \right)}'}}}{{{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}}} = \dfrac{{{e^{\frac{x}{{2023}}}}}}{{{e^{\frac{x}{{2023}}}} + {e^{\frac{1}{2}}}}}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{{{e^t}}}{{{e^t} + \sqrt e }} \Rightarrow g\left( {1 - t} \right) = \dfrac{{{e^{1 - t}}}}{{{e^{1 - t}} + \sqrt e }} = \dfrac{{\sqrt e }}{{{e^t} + \sqrt e }}\).

Khi đó \(g\left( t \right) + g\left( {1 - t} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( {\dfrac{x}{{2023}}} \right) + g\left( {1 - \dfrac{x}{{2023}}} \right) = 1\\ \Rightarrow g\left( {\dfrac{x}{{2023}}} \right) + g\left( {\dfrac{{2023 - x}}{{2023}}} \right) = 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) + f'\left( {2023 - x} \right) = 1\end{array}\)

Vậy ta có:

\(\begin{array}{l}H = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2022} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \left[ {f'\left( 1 \right) + f'\left( {2022} \right)} \right] + \left[ {f'\left( 2 \right) + f'\left( {2022} \right)} \right] + ... + \left[ {f'\left( {1011} \right) + f'\left( {1012} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\, = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{1011} = 1011\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.