Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Đường thẳng \(d:\,y = 2x + m\) cắt (C)

Câu hỏi số 552872:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Đường thẳng \(d:\,y = 2x + m\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và MN nhỏ nhất khi giá trị của m thuộc khoảng nào?

A. \(m \in \left( { - \infty \,;\,0} \right]\)

B. \(m \in \left( {\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}} \right)\)

C. \(m \in \left[ {\dfrac{5}{2}\,;\, + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( {0\,;\,\dfrac{3}{2}} \right]\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552872

Phương pháp giải

+ Xét PT hoành độ giao điểm để tìm điều kiện giao nhau giữa 2 hàm số.

+ Dùng định lý Vi-et để suy ra tổng và tích của 2 nghiệm theo tham số m.

+ Lập công thức khoảng cách giữa 2 giao điểm và thay tổng và tích đã tìm được ở trên.

+ Biện luận hàm số theo m để tìm Min và hàm khoảng cách.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m\,\,\left( {x \ne - 1} \right)\) \( \Rightarrow 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\left( {x \ne - 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1}\,;\,{x_2} \ne - 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 6m + 25 > 0\\2.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m + 1} \right)\left( { - 1} \right) + m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\).

Gọi \(M\left( {{x_1}\,;\,2{x_1} + m} \right)\) và \(N\left( {{x_2}\,;\,2{x_2} + m} \right)\) thuộc d.

Theo Định lí Viét ta có \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{{m + 1}}{2}\,\,;\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 3}}{2}\).

Ta có

\(M{N^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)^2} = 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\)

\( = \dfrac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right) = \dfrac{5}{4}.\left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 16} \right] \ge 20\).

Dấu = xảy ra khi m = 3.

Vậy \(MN\) nhỏ nhất bằng khi \(m = 3 \Rightarrow m \in \left[ {\dfrac{5}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.