Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a; \(AC = \sqrt 7 a\); \(BC = \sqrt 3 a\). Biết khoảng cách giữa

Câu hỏi số 552871:

Vận dụng cao

Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a; \(AC = \sqrt 7 a\); \(BC = \sqrt 3 a\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng a, tính thể tích của khối tứ diện ABCD.

A. \(\dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

C. \(2\sqrt 6 {a^3}\)

D. \(2\sqrt 2 {a^3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552871

Giải chi tiết

Vì \(AB = BD = AD = 2a\), \(AC = \sqrt 7 a\), \(BC = \sqrt 3 a\) nên tam giác ABD và ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo).

Gọi M là trung điểm của AB, dựng hình chữ nhật BCEM.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot ME\\AB \bot MD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {DME} \right) \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {DME} \right)\).

Trong (DME), kẻ \(DH \bot ME\) tại H, suy ra \(DH \bot \left( {ABC} \right)\).

Ta có \(DM = a\sqrt 3 = ME\), suy ra tam giác DME cân tại M.

Gọi N là trung điểm của DE \( \Rightarrow MN \bot DE\). Do đó \(DH = \dfrac{{MN.DE}}{{ME}}\,\,\left( * \right)\).

_{Ta có:}\(EC{\rm{//}}AB \Rightarrow EC \bot \left( {DME} \right) \Rightarrow EC \bot MN\)

_{Do đó}\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot DE\\MN \bot EC\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {DEC} \right)\).

_{Lại có:}\(AB{\rm{//}}\left( {DEC} \right) \Rightarrow d\left( {AB,\,CD} \right) = d\left( {AB,\left( {DEC} \right)} \right) = d\left( {M,\,\left( {DEC} \right)} \right) = MN = a\).

Suy ra \(DE = 2NE = 2\sqrt {M{E^2} - M{N^2}} = 2a\sqrt 2 \)

Thế vào (*)ta được: \(DH = \dfrac{{a.2a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.DH.\dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.2a.a\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.