Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;3;10} \right),\,\,B\left( {4;6;5} \right)\) và điểm \(M\)

Câu hỏi số 553571:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;3;10} \right),\,\,B\left( {4;6;5} \right)\) và điểm \(M\) thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho đường thẳng \(MA,\,\,MB\) cũng tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) các góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM\).

A. 10

B. \(2\sqrt {41} \)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(6\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553571

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên \(Oxy\), ta có góc tạo bởi \(MA,\,\,MB\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) lần lượt là \(\angle AMH,\,\,\angle BMK\).

Ta có: \(d\left( {A,Oxy} \right) = 10,\,\,d\left( {B,\left( {Oxy} \right)} \right) = 5\).

Do \(\angle AMH = \angle BMK\) nên \(\sin \angle AMH = \sin \angle BMK\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{HA}}{{MA}} = \dfrac{{KB}}{{MB}} \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{MA}} = \dfrac{5}{{MB}} \Leftrightarrow MA = 2MB\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {3 - y} \right)^2} + 100 = 4\left[ {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {{\left( {6 - y} \right)}^2} + 25} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 10x - 14y + 66 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 8\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 = \sqrt 8 \cos \alpha \\y - 7 = \sqrt 8 \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 8 \cos \alpha + 5\\y = \sqrt 8 \sin \alpha + 7\end{array} \right.\)

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt 8 \cos \alpha + 4} \right)^2} + {\left( {\sqrt 8 \sin \alpha + 4} \right)^2} + 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16\sqrt 2 \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) + 140\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 32\sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{4}} \right) + 140 \ge 108\\ \Rightarrow AM \ge 6\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu xảy ra

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \alpha = - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;5;0} \right)\end{array}\)

Vậy \(\min AM = 6\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.