Chứng minh rằng tồn tại số có dạng \(201720172017...201700...0\) chia hết cho \(2016\).

Câu hỏi số 553980:

Thông hiểu

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553980

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) chú thỏ được nhốt vào \(n\) chuồng thì luôn có ít nhất \(2\) con thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

+ Nếu \(a\) chia hết cho \(m\) thì \({a^n}\) chia hết cho \(m\) với mọi \(n\,\) là số tự nhiên.

+ Các số hạng cùng chia hết cho \(2;3;5;9\) thì tổng hoặc hiệu của các số đó cùng chia hết cho \(2;3;5;9\).

+ Số thỏ: \(2017\) con; Số lồng: \(2015\) lồng.

Giải chi tiết

Xét \(2017\) số: \(2017;20172017;...;\underbrace {20172017...2017}_{2017so}\)

Khi chia cho \(2016\) thì có thể có \(2016\) số dư: \(0;1;2;...;2015\)

(Có \(2017\) thỏ; \(2015\) lồng)

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2016\).

Giả sử hai số đó là: \(a = \underbrace {20172017...2017}_m;b = \underbrace {20172017...2017}_n\left( {1 \le n < m < 2017} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}a - b = \underbrace {20172017...2017}_m - \underbrace {20172017...2017}_n\\\;\quad \quad = \underbrace {20172017...2017}_{m - n}\underbrace {00...0}_{4n} \vdots 2016\end{array}\)

Vậy tồn tại số có dạng \(201720172017...201700...0\) chia hết cho \(2016\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link