Chứng minh rằng tồn tại số có dạng \(11...11\) chia hết cho \(2017\).

Câu hỏi số 553981:

Thông hiểu

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553981

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) chú thỏ được nhốt vào \(n\) chuồng thì luôn có ít nhất \(2\) con thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

+ Số thỏ: \(2018\) con; Số lồng: \(2017\) lồng.

+ Số chia hết cho \(11\) là các số có tồng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho \(11\).

Giải chi tiết

Xét \(2018\) số : \(1;11;111;...;11...11\)

Khi chia cho \(2017\) thì có thể có \(2017\) số dư : \(0;1;2;...2016\)

(Có \(2018\) thỏ ; \(2017\) lồng)

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2017\).

Giả sử hai số đó là \(c = \underbrace {11...11}_p;d = \underbrace {11...11}_k\left( {k < p} \right)\)

Ta có : \(c - d = \underbrace {11...11}_p - \underbrace {11...11}_k = \underbrace {11...11}_{p - k}\underbrace {00...0}_k = \underbrace {11...11}_{p - k}{.10^k}\)

Vì \(\left. \begin{array}{l}\left( {c - d} \right) \vdots 2017\\\left( {{{10}^k};2017} \right) = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \underbrace {11...11}_{p - k} \vdots 2017\)

Vậy tồn tại số có dạng \(11...11\) chia hết cho \(2017\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link