Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên \(k\) sao cho \({3^k}\) tận cùng bằng \(001\).

Câu hỏi số 553985:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553985

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) chú thỏ được nhốt vào \(n\) chuồng thì luôn có ít nhất \(2\) con thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

+ Nếu \(a\) chia hết cho \(m\) thì \({a^n}\) chia hết cho \(m\) với mọi \(n\,\) là số tự nhiên.

+ Số thỏ: \(1001\) con; Số lồng: \(1000\) lồng.

Giải chi tiết

Khi chia cho \(1000\) có thể có \(1000\) số dư là : \(0;1;2;...;999\)

Ta xét \(1001\) số có dạng \(3;{3^2};{3^3};...;{3^{1001}}\)

(\(1001\) thỏ ; \(1000\) lồng)

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(1000\).

Gọi hai số đó là \({3^m}\) và \({3^n}\left( {1 \le n < m \le 1001} \right)\)

Ta có \(\left( {{3^m} - {3^n}} \right) \vdots 1000 \Leftrightarrow \left[ {{3^n}\left( {{3^{m - n}} - 1} \right) \vdots 1000} \right]\)

Mà \(\left( {{3^n};1000} \right) = 1\)

\( \Rightarrow \left( {{3^{m - n}} - 1} \right) \vdots 1000 \Rightarrow {3^{m - n}}\) có tận cùng là \(001\)

Vậy tồn tại số tự nhiên \(k\) sao cho \({3^k}\) tận cùng bằng \(001\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link