Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(p\)thoả mãn: \(\left( {{{13579}^p} - 1} \right) \vdots

Câu hỏi số 553984:

Vận dụng

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(p\)thoả mãn: \(\left( {{{13579}^p} - 1} \right) \vdots {3^{13579}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553984

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) chú thỏ được nhốt vào \(n\) chuồng thì luôn có ít nhất \(2\) con thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

+ Nếu \(a\) chia hết cho \(m\) thì \({a^n}\) chia hết cho \(m\) với mọi \(n\,\) là số tự nhiên.

+ Số thỏ: \(a + 1\) con; Số lồng: \(a\) lồng.

Giải chi tiết

Đặt \(a = {3^{13579}}\). Khi đó \(\left( {a,13579} \right) = 1\)

Chia \(a + 1\) số trên cho \(a\) ta được \(a\) số dư.

(Số thỏ : \(a + 1\) con ; Số lồng : \(a\) lồng)

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số dư bằng nhau khi chia cho \(a\).

Giả sử hai số đó là \({13579^m}\) và \({13579^n}\)\(\left( {m > n} \right)\).

Khi đó \(\left( {{{13579}^m} - {{13579}^n}} \right) \vdots a\) hay \({13579^n}\left( {{{13579}^{m - n}} - 1} \right) \vdots a\)

Do \(\left( {a,13579} \right) = 1 \Rightarrow \left( {a{{,13579}^n}} \right) = 1\)

\( \Rightarrow \left( {{{13579}^{m - n}} - 1} \right) \vdots a \Rightarrow \left( {{{13579}^p} - 1} \right) \vdots {3^{13579}}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link