Cho 5 số nguyên dương \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}\) phân biệt. Xét tích: \(P = \left( {{a_1} - {a_2}}

Câu hỏi số 553989:

Vận dụng cao

Cho 5 số nguyên dương \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}\) phân biệt. Xét tích:

\(P = \left( {{a_1} - {a_2}} \right)\left( {{a_1} - {a_3}} \right)\left( {{a_1} - {a_4}} \right)\left( {{a_1} - {a_5}} \right)\left( {{a_2} - {a_3}} \right)\)\(\left( {{a_2} - {a_4}} \right)\left( {{a_2} - {a_5}} \right)\left( {{a_3} - {a_4}} \right)\left( {{a_3} - {a_5}} \right)\left( {{a_4} - {a_5}} \right)\)

Chứng minh \(P \vdots 288\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553989

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) chú thỏ được nhốt vào \(n\) chuồng thì luôn có ít nhất \(2\) con thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

+ Các số hạng cùng chia hết cho \(2;3;5;9\) thì tổng hoặc hiệu của các số đó cùng chia hết cho \(2;3;5;9\).

+ Nếu \(a\) chia hết cho \(m\) thì \({a^n}\) chia hết cho \(m\) với mọi \(n\,\) là số tự nhiên.

Vì \(288 = {3^2}{.2^5}\) nên ta cần chứng minh \(P\) chia hết cho \({3^2}\) và \({2^5}\)

Giải chi tiết

+ Khi một số nguyên bất kỳ chia cho \(3\) thì có thể có \(3\) số dư là \(0;1;2\)

Xét bốn số \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4}\). Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(3\).

Giả sử hai số đó là \({a_1}\) và \({a_2}\) . Khi đó \(\left( {{a_1} - {a_2}} \right) \vdots 3\)

Xét bốn số \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5}\). Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(3\).

Giả sử hai số đó là \({a_4}\) và \({a_5}\). Khi đó \(\left( {{a_4} - {a_5}} \right) \vdots 3\)

\( \Rightarrow P \vdots 3 \Rightarrow P \vdots {3^2}\)

+ Trong \(5\) số đã cho theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có \(3\) số có cùng tính chẵn lẻ.

- Nếu có \(4\) số chẵn, chẳng hạn \({a_1} = 2{k_1},{a_2} = 2{k_2},{a_3} = 2{k_3},{a_4} = 2{k_4}\) thì

\(P = {2^5}\left( {{k_1} - {k_2}} \right)\left( {{k_1} - {k_3}} \right)\left( {{k_1} - {k_4}} \right)\left( {{a_1} - {a_5}} \right)\left( {{k_2} - {k_4}} \right)\left( {{k_2} - {k_3}} \right)\left( {{a_2} - {a_5}} \right)\left( {{a_3} - {a_4}} \right)\left( {{a_3} - {a_5}} \right)\left( {{a_4} - {a_5}} \right)\)

\( \Rightarrow P \vdots {2^5}\)

- Nếu có \(3\) số chẵn và \(2\) số lẻ thì đặt: \({a_1} = 2{k_1},{a_2} = 2{k_2},{a_3} = 2{k_3},{a_4} = 2{k_4} + 1,{a_5} = 2{k_5} + 1\)

Ta có: \(P = {2^4}\left( {{k_1} - {k_2}} \right)\left( {{k_1} - {k_3}} \right)\left( {{k_2} - {k_3}} \right)\left( {{a_1} - {a_4}} \right)\left( {{a_1} - {a_5}} \right)\left( {{a_2} - {a_4}} \right)\left( {{a_2} - {a_5}} \right)\left( {{a_3} - {a_4}} \right)\left( {{a_3} - {a_5}} \right)\left( {{a_4} - {a_5}} \right)\)

Trong ba số \({k_1};{k_2};{k_3}\) có hai số cùng tính chẵn lẻ theo nguyên lý Dirichlet.

Giả sử \({k_1}\) và \({k_2}\) là hai số đó. Khi đó \(\left( {{k_1} - {k_2}} \right) \vdots 2 \Rightarrow P \vdots 32\)

- Nếu có \(3\) số lẻ là \({a_1};{a_2};{a_3}\) còn \({a_4};{a_5}\) chẵn thì đặt : \({a_1} = 2{k_1} + 1;{a_2} = 2{k_2} + 1;{a_3} = 2{k_3} + 1;{a_4} = 2{k_4};{a_5} = 2{k_5}\)

\(P = 2\left( {{k_4} - {k_5}} \right)\left( {{a_1} - {a_2}} \right)\left( {{a_1} - {a_3}} \right)\left( {{a_1} - {a_4}} \right)\left( {{a_1} - {a_5}} \right)\left( {{a_2} - {a_3}} \right)\left( {{a_2} - {a_4}} \right)\left( {{a_2} - {a_5}} \right)\left( {{a_3} - {a_4}} \right)\left( {{a_3} - {a_5}} \right)\)

\( \Rightarrow P \vdots 2 \Rightarrow P \vdots {2^5}\)

Vậy \(P \vdots 288\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link