Chứng minh rằng tồn tại luỹ thừa của \(29\) mà các chữ số tận cùng của nó là

Câu hỏi số 553994:

Vận dụng

Chứng minh rằng tồn tại luỹ thừa của \(29\) mà các chữ số tận cùng của nó là \(00001\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553994

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet: Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào \(n\) chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

+\({29^m}\) có tận cùng là \(1\) nếu \(m\) là số chẵn.

Giải chi tiết

Ta có: \({29^m}\) có tận cùng là \(1\) nếu \(m\)là số chẵn.

\({29^m}\) có tận cùng là \(9\) nếu \(m\) là số lẻ.

Xét \({10^5}\) luỹ thừa của \(29\) với các số mũ chẵn khác nhau.

+ Trường hợp \(1\): \(m = 2k\)

Khi đó: \({29^{2k}}\) có tận chừng là \(00001\) (đpcm)

+ Trường hợp 2: \(m \ne 2k\)

Ta thấy rằng: số các số có \(5\) chữ số tận cùng khác nhau mà nhỏ hơn \({10^5}\). Trong khi đó ta đang xét \({10^5}\) số.

Theo nguyên lý Dirichlet ít nhất phải có hai luỹ thừa mà có \(5\) chữ số tận cùng là như nhau.

Giả sử hai số đó là: \({A_1} = {29^{2{k_1}}} = {M_1}{.10^5}\overline {abc{d_1}} \) và \({A_2} = {29^{2{k_2}}} = {M_2}{.10^5}.\overline {abc{d_1}} \) \(\left( {{k_1} > {k_2}} \right)\)

Ta có: \({A_1} - {A_2} = {29^{2{k_1}}} - {29^{2{k_2}}} = \left( {{M_1} - {M_2}} \right){.10^5}\)

\( = {29^{2{k_2}}}\left( {{{29}^{2\left( {{k_1} - {k_2}} \right)}} - 1} \right)\)

Vì \({29^{2{k_2}}}\) có tận cùng là \(1\) và \({A_1} - {A_2} = \left( {{M_1} - {M_2}} \right){.10^5}\) có tận cùng không ít hơn \(5\) số \(0\) nên \(\left( {{{29}^{2\left( {{k_1} - {k_2}} \right)}} - 1} \right)\) phải có tận cùng không ít hơn \(5\) số \(0\)\( \Rightarrow {29^{2\left( {{k_1} - {k_2}} \right)}}\) có tận cùng là \(00001\).

Vậy tồn tại luỹ thừa của \(29\) mà các chữ số tận cùng của nó là \(00001\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link