Trong mặt phẳng, cho tập \(A\) gồm \(n\) điểm\(\left( {n \ge 2} \right)\). Một số cặp điểm được

Câu hỏi số 554350:

Vận dụng

Trong mặt phẳng, cho tập \(A\) gồm \(n\) điểm\(\left( {n \ge 2} \right)\). Một số cặp điểm được nổi với nhau bằng đoạn thẳng. Chứng minh rằng trong tập \(A\) đã cho, có ít nhất hai điểm được nối với cùng số lượng điểm khác thuộc \(A\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554350

Phương pháp giải

Nguyên lý Dirichlet: Nếu xếp nhiều hơn \(n + 1\) đối tượng vào \(n\) cái hộp thì ít nhất một hộp chứa không ít hơn hai đối tượng.

Chứng minh rằng tồn tại \({a_1},{a_2} \in A\left( {{a_1} \ne {a_2}} \right)\) mà \(S\left( {{a_1}} \right) = S\left( {{a_2}} \right)\)

Giải chi tiết

Giả sử \(a \in A\). Ta kí hiệu \(S\left( a \right)\) là số lượng các điểm của A nối với \(a\) thành đoạn thẳng.

Với mọi \(a \in A\) ta có: \(0 \le S\left( a \right) \le n - 1\)

Giả sử \(S\left( a \right) = n - 1\) và \(S\left( b \right) = 0\)

Vì \(S\left( a \right) = n - 1\)\( \Rightarrow \) \(a\) nối với tất cả \(n - 1\) điểm còn lại (mâu thuẫn)

Tức là \(S\left( b \right) \ge 1\) và trái với giả định \(S\left( b \right) = 0\)

Gọi \(S = \left\{ {m|m = S\left( a \right),a \in A} \right\}\) là tập hợp các giá trị mà các đại lượng \(S\left( a \right)\) (\(a \in A\) ;\(0 \le S\left( a \right) \le n - 1\))

\( \Rightarrow S\) có tối đa \(n\)giá trị. Tuy nhiên \(\left\{ \begin{array}{l}S\left( a \right) = n - 1\\S\left( b \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow n - 1\) và \(0\) không đồng thời thuộc \(S\)\( \Rightarrow S\) có \(n - 1\) giá trị.

Số thỏ: \(n\) con ; Số lồng: \(n - 1\) lồng

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \({a_1} \in A;{a_2} \in A\left( {{a_1} \ne {a_2}} \right)\) mà \(S\left( {{a_1}} \right) = S\left( {{a_2}} \right)\)

Vậy trong tập \(A\) đã cho, có ít nhất hai điểm được nối với cùng số lượng điểm khác thuộc \(A\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link