Trong hình vuông cạnh bằng \(1\) có một đường gấp khú \(l\) không tự cắt với đọ dài lớn

Câu hỏi số 554352:

Vận dụng cao

Trong hình vuông cạnh bằng \(1\) có một đường gấp khú \(l\) không tự cắt với đọ dài lớn hơn \(1000\). Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng \(m\) song song với cạnh hình vuông và đường \(L\) tại hơn \(500\) điểm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554352

Phương pháp giải

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt \(n\) thỏ vào \(m\) chuồng \(\left( {n > m} \right)\), nghĩa là số thỏ nhiều hơn số chuồng, thì ít nhất cùng có một chuồng nhốt không ít hơn hai thỏ.

Giải chi tiết

Giả sử \({l_i}\) là độ dài mắt thứ \(i\) của đường gấp khúc, \({a_i};{b_i}\) là độ dài hình chiếu của nó lên các cạnh hình vuông.

Khi đó \({l_i} \le {a_i} + {b_i}\)

\( \Rightarrow 1000 = {l_1} + {l_2} + ... + {l_n} \le \left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}} \right)\)

Tức là: \({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge 500\) hoặc \({b_1} + {b_2} + ... + {b_n} \ge 500\)

Nếu tổng độ dài hình chiếu của các mắt lên một cạnh có độ dài là\(1\) không nhỏ hơn \(500\), thì theo nguyên lý Dirichlet phải có điểm chung cho hơn \(500\) hình chiếu của các mắt gấp khúc, tức là đường vuông góc kẻ từ điểm chung đó sẽ cắt đường gấp khúc tại ít nhất \(500\) điểm.

Vậy tồn tại một đường thẳng \(m\) song song với cạnh hình vuông và đường \(L\) tại hơn \(500\) điểm

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link