Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có cạnh \(AD\) là đường kính \((B\)

Câu hỏi số 556468:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có cạnh \(AD\) là đường kính \((B\) thuộc cung nhỏ \(AC).\) Gọi giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) là \(H\). Kẻ \(HK\) vuông góc với \(AD\) tại \(K\). Tia \(BK\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\)

1) Chứng minh bốn điểm \(A,B,H,K\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(AD\) vuông góc với \(CF.\)

3) Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(F\) trên các đường thẳng \(AB\) và \(BD.\)

a) Chứng minh \(PQ//BC;\)

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CF\). Chứng minh \(P,I,Q\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556468

Phương pháp giải

1) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

2) Ta sẽ chứng minh: \(HK//CF\) mà \(HK \bot AD\left( {gt} \right) \Rightarrow AD \bot CF\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

3) a) Ta sẽ chứng minh: \(\angle CBD = \angle BQP\) mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow BC//PQ\)

b) Ta sẽ chứng minh: tứ giác \(APIF\) nội tiếp

Sử dụng định lý tứ giác nội tiếp, suy ra \(\angle BCF = \angle PIF\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow PI//BC\)

Vận dụng tiên đề Ơ – clit, suy ra \(P,I,Q\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

1) Chứng minh bốn điểm \(A,B,H,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AD \Rightarrow \angle ABD = {90^0}\)

\(HK\) vuông góc với \(AD\) tại \(K\) (gt) \( \Rightarrow \angle HKA = {90^0}\)

Tứ giác \(ABHK\) có: \(\angle ABH + \angle AKH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà \(\angle ABH,\angle AKH\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow ABHK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

2) Chứng minh \(AD\) vuông góc với \(CF.\)

Tứ giác \(ABHK\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle ABK = \angle AHK\) (góc nội tiếp chắn cung \(AK\)) \( \Rightarrow ABF = \angle AHK\)

Xét \(\left( O \right):\angle ABF = \angle ACF\) (góc nội tiếp chắn cung \(AF\))

\( \Rightarrow \angle AHK = \angle ACF\left( { = \angle ABF} \right)\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow HK//CF\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AD\left( {gt} \right)\\HK//CF\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot CF\)

3) Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(F\) trên các đường thẳng \(AB\) và \(BD.\)

a) Chứng minh \(PQ//BC;\)

Tứ giác \(BPFQ\) có: \(\angle PBQ = \angle BPF = \angle BQF = {90^0}\)

\( \Rightarrow BPFQ\) là hình chữ nhật (dhnb)

\( \Rightarrow \angle FBQ = \angle BQP\) hay \(\angle DPF = \angle BQP\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\left( O \right):AD\) là đường kính, \(CF\) là dây không đi qua tâm

Từ (1) và (2), suy ra \(\angle CBD = \angle BQP\) mà hai góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow BC//PQ\)

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(CF\). Chứng minh \(P,I,Q\) thẳng hàng.

\(ABCF\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle BAF + \angle BCF = {180^0}\) (định lý tứ giác nội tiếp) (3)

Vì \(AD\) vuông góc với \(CF\) tại \(I\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AIF = {90^0}\)

Tứ giác \(APIF\) có: \(\angle APF = \angle AIF = {90^0}\) mà \(P,I\) là hai đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow APIF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle PAF + \angle PIF = {180^0}\) (định lý tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle BAF + \angle PIF = {180^0}\) (4)

Từ (3) và (4), suy ra \(\angle PIF = \angle BCF\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow PI//BC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//PQ\\BC//PI\end{array} \right. \Rightarrow P,I,Q\) thẳng hàng (tiên đề Ơ – clit)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link