Cho hàm số y = f(x). Đồ thị y = f’(x) trên [-3;0] như hình vẽ sau (phần đường cong của đồ

Câu hỏi số 558410:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị y = f’(x) trên [-3;0] như hình vẽ sau (phần đường cong của đồ thị là một phần của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\)).

Cho \(\int\limits_{{e^{ - 3}}}^1 {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \dfrac{2}{3}\), giá trị f(0) bằng

A. 1

B. \( - \dfrac{7}{9}\)

C. 2

D. \(\dfrac{{14}}{9}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558410

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp đổi biến, chứng minh \(\dfrac{2}{3} = \int\limits_{{e^{ - 3}}}^1 {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt} \).

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( t \right)\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( t \right)dt\\v = t + 3\end{array} \right.\).

- Tìm hàm f’(t) dựa vào đồ thị.

- Thay vào và tính tích phân, từ đó tìm f(0).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {e^{ - 3}} \Rightarrow t = - 3\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \(\dfrac{2}{3} = \int\limits_{{e^{ - 3}}}^1 {\dfrac{{f\left( {\ln x} \right)}}{x}dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( t \right)\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( t \right)dt\\v = t + 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( t \right)dt} = \left. {\left( {t + 3} \right)f\left( t \right)} \right|_{ - 3}^0 - \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {t + 3} \right)f'\left( t \right)dt} \\ \Rightarrow \dfrac{2}{3} = 3f\left( 0 \right) - \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {t + 3} \right)f'\left( t \right)dt} \end{array}\)

Dựa vào đồ thị ta có: \(f'\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {t^2} - 4t - 3\,\,khi\,\, - 3 \le t \le - 1\\\,\,\,\,\,\,2t + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - 1 \le t \le 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {t + 3} \right)f'\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {t + 3} \right)f'\left( t \right)dt} + \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {t + 3} \right)f'\left( t \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {t + 3} \right)\left( { - {t^2} - 4t - 3} \right)dt} + \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {t + 3} \right)\left( {2t + 2} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3} = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{2}{3} = 3f\left( 0 \right) - 4 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \dfrac{{14}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.